Definicija 1. Ako su dva broja 1) a I b kada se podijeli sa str dati isti ostatak r, tada se takvi brojevi nazivaju ekviremainder ili usporedivi po modulu str.
Izjava 1. Neka str neki pozitivan broj. Zatim svaki broj a uvijek i, štoviše, na jedini način koji se može prikazati u obliku
Ali ti se brojevi mogu dobiti postavljanjem r jednako 0, 1, 2,..., str−1. Stoga sp+r=a dobit će sve moguće cjelobrojne vrijednosti.
Pokažimo da je ovaj prikaz jedinstven. Hajdemo to pretvarati str može se prikazati na dva načina a=sp+r I a=s 1 str+r 1 . Zatim
 |
 | (2) |
Jer r 1 prihvaća jedan od brojeva 0,1, ..., str−1, zatim apsolutna vrijednost r 1 −r manje str. Ali iz (2) slijedi da r 1 −r višestruki str. Stoga r 1 =r I s 1 =s.
Broj r nazvao minus brojevima a modulo str(drugim riječima, broj r zove se ostatak broja a na str).
Izjava 2. Ako dva broja a I b usporedivi po modulu str, To a−b podjeljeno sa str.
Stvarno. Ako dva broja a I b usporedivi po modulu str, onda kada se podijeli sa str imaju isti ostatak str. Zatim
podjeljeno sa str, jer desna strana jednadžbe (3) podijeljena je s str.
Izjava 3. Ako je razlika dvaju brojeva djeljiva sa str, onda su ti brojevi usporedivi u modulu str.
Dokaz. Označimo sa r I r 1 diobeni ostatak a I b na str. Zatim
 |
Primjeri 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).
Iz prvog primjera slijedi da 25 kada se podijeli sa 7 daje isti ostatak kao 39. Doista, 25 = 3·7+4 (ostatak 4). 39=3·7+4 (ostatak 4). Kada razmatrate drugi primjer, trebate uzeti u obzir da ostatak mora biti nenegativan broj manji od modula (tj. 4). Tada možemo napisati: −18=−5·4+2 (ostatak 2), 14=3·4+2 (ostatak 2). Prema tome, −18 kada se podijeli s 4 ostavlja ostatak 2, a 14 kada se podijeli s 4 ostavlja ostatak 2.
Svojstva modulo usporedbi
Vlasništvo 1. Za bilo koga a I str Stalno
nema uvijek usporedbe
Gdje λ je najveći zajednički djelitelj brojeva m I str.
Dokaz. Neka λ najveći zajednički djelitelj brojeva m I str. Zatim
Jer m(a−b) podjeljeno sa k, To
Kod rješavanja jednadžbi i nejednadžbi, kao i problema s modulima, potrebno je postaviti pronađene korijene na brojevnu crtu. Kao što znate, pronađeni korijeni mogu biti različiti. Mogu biti ovako: , ili mogu biti ovako: , .
Prema tome, ako brojevi nisu racionalni, već iracionalni (ako ste zaboravili što jesu, pogledajte u temi), ili su složeni matematički izrazi, onda je njihovo postavljanje na brojevnu crtu vrlo problematično. Štoviše, tijekom ispita ne možete koristiti kalkulatore, a približni izračuni ne daju 100% jamstvo da je jedan broj manji od drugog (što ako postoji razlika između brojeva koji se uspoređuju?).
Naravno, znate da su pozitivni brojevi uvijek veći od negativnih i da ako zamislimo brojevnu os, tada će pri usporedbi najveći brojevi biti desno od najmanjih: ; ; itd.
No je li uvijek sve tako jednostavno? Gdje na brojevnoj crti označimo, .
Kako se mogu usporediti, na primjer, s brojem? Ovo je problem...)
Prvo, razgovarajmo općenito o tome kako i što usporediti.
Važno: preporučljivo je napraviti transformacije tako da se znak nejednakosti ne mijenja! Odnosno, tijekom transformacija nepoželjno je množiti negativnim brojem, i Zabranjeno je kvadrat ako je jedan od dijelova negativan.
Usporedba razlomaka
Dakle, moramo usporediti dva razlomka: i.
Postoji nekoliko opcija kako to učiniti.
Opcija 1. Svedite razlomke na zajednički nazivnik.
Zapišimo ga u obliku običnog razlomka:
- (kao što vidite, smanjio sam i brojnik i nazivnik).
Sada moramo usporediti razlomke:
Sada možemo nastaviti uspoređivati na dva načina. Možemo:
- samo dovedite sve pod zajednički nazivnik, predstavljajući oba razlomka kao nepravilna (brojnik je veći od nazivnika):
Koji je broj veći? Tako je, onaj s većim brojnikom, dakle prvi.
- “odbacimo” (uzmite u obzir da smo svakom razlomku oduzeli jedan, a omjer razlomaka se prema tome nije promijenio) i usporedite razlomke:
Također ih dovodimo pod zajednički nazivnik:
Dobili smo potpuno isti rezultat kao u prethodnom slučaju - prvi broj je veći od drugog:
Provjerimo i jesmo li točno oduzeli jedan? Izračunajmo razliku u brojniku u prvom i drugom izračunu:
1)
2)
Dakle, pogledali smo kako usporediti razlomke, dovodeći ih do zajedničkog nazivnika. Prijeđimo na drugu metodu - uspoređivanje razlomaka, dovođenje do zajedničkog... brojnika.
Opcija 2. Uspoređivanje razlomaka svođenjem na zajednički brojnik.
Da da. Ovo nije tipfeler. Ovu metodu rijetko tko podučava u školi, ali je vrlo često vrlo zgodna. Kako biste brzo shvatili njegovu bit, postavit ću vam samo jedno pitanje - "u kojim slučajevima je vrijednost razlomka najveća?" Naravno, reći ćete "kada je brojnik što veći, a nazivnik što manji."
Na primjer, možete li sa sigurnošću reći da je to istina? Što ako trebamo usporediti sljedeće razlomke: ? Mislim da ćete također odmah ispravno staviti znak, jer su u prvom slučaju podijeljeni na dijelove, au drugom na cijele, što znači da u drugom slučaju komadići ispadaju vrlo mali, i prema tome: . Kao što vidite, nazivnici su ovdje različiti, ali su brojnici isti. Međutim, da biste usporedili ova dva razlomka, ne morate tražiti zajednički nazivnik. Iako... pronaći ga i vidjeti je li znak za usporedbu još uvijek pogrešan?
Ali znak je isti.
Vratimo se našem izvornom zadatku - usporedimo i... Usporedit ćemo i... Svedimo ove razlomke ne na zajednički nazivnik, već na zajednički brojnik. Da biste to učinili jednostavno brojnik i nazivnik pomnožite prvi razlomak s. Dobivamo:
I. Koji je razlomak veći? Tako je, prvi.
Opcija 3: Uspoređivanje razlomaka pomoću oduzimanja.
Kako usporediti razlomke pomoću oduzimanja? Da, vrlo jednostavno. Od jednog razlomka oduzimamo drugi. Ako je rezultat pozitivan, tada je prvi razlomak (minuend) veći od drugog (subtrahend), a ako je negativan, onda je obrnuto.
U našem slučaju, pokušajmo oduzeti prvi razlomak od drugog: .
Kao što već razumijete, također pretvaramo u obični razlomak i dobivamo isti rezultat - . Naš izraz ima oblik:
Dalje, ipak ćemo morati pribjeći svođenju na zajednički nazivnik. Pitanje je: na prvi način, pretvaranje razlomaka u neprave, ili na drugi način, kao da se "uklanja" jedinica? Inače, ova akcija ima potpuno matematičko opravdanje. Izgled:
Više mi se sviđa druga opcija, jer množenje u brojniku kada se svede na zajednički nazivnik postaje puno lakše.
Dovedimo to pod zajednički nazivnik:
Ovdje je glavna stvar da se ne zbunimo od kojeg broja smo oduzeli i gdje. Pažljivo pogledajte napredak rješenja i nemojte slučajno zbuniti znakove. Oduzeli smo prvi broj od drugog broja i dobili negativan odgovor, dakle?.. Tako je, prvi broj je veći od drugog.
kužiš Pokušajte usporediti razlomke:
Stani, stani. Nemojte žuriti s dovođenjem do zajedničkog nazivnika ili oduzimanjem. Pogledajte: lako ga možete pretvoriti u decimalni razlomak. Koliko će trajati? Pravo. Čega više na kraju?
Ovo je još jedna opcija - usporedba razlomaka pretvaranjem u decimale.
Opcija 4: Uspoređivanje razlomaka korištenjem dijeljenja.
Da da. I ovo je također moguće. Logika je jednostavna: kada veći broj podijelimo s manjim, odgovor koji dobivamo je broj veći od jedan, a ako manji broj podijelimo s većim, tada odgovor pada na interval od do.
Da biste zapamtili ovo pravilo, uzmite bilo koja dva prosta broja za usporedbu, na primjer, i. Znate što je više? Sada podijelimo sa. Naš odgovor je. Prema tome, teorija je točna. Ako podijelimo s, ono što dobijemo je manje od jedan, što opet potvrđuje da je zapravo manje.
Pokušajmo to pravilo primijeniti na obične razlomke. Usporedimo:
Podijelite prvi razlomak s drugim:
Skratimo malo po malo.
Dobiveni rezultat je manji, što znači da je dividenda manja od djelitelja, odnosno:
Pregledali smo sve moguće opcije za usporedbu razlomaka. Kako ih vidite 5:
- svođenje na zajednički nazivnik;
- svođenje na zajednički brojnik;
- svođenje na oblik decimalnog razlomka;
- oduzimanje;
- podjela.
Spremni za trening? Usporedi razlomke na optimalan način:
Usporedimo odgovore:
- (- pretvoriti u decimale)
- (podijeliti jedan razlomak drugim i smanjiti brojnikom i nazivnikom)
- (odaberite cijeli dio i usporedite razlomke po principu istog brojnika)
- (jedan razlomak podijeli drugim i smanji brojnikom i nazivnikom).
2. Usporedba stupnjeva
Sada zamislite da trebamo usporediti ne samo brojeve, već i izraze u kojima postoji stupanj ().
Naravno, lako možete staviti znak:
Uostalom, ako stupanj zamijenimo množenjem, dobivamo:
Iz ovog malog i primitivnog primjera slijedi pravilo:
Sada pokušajte usporediti sljedeće: . Također možete jednostavno staviti znak:
Jer ako stepenovanje zamijenimo množenjem...
Općenito, sve razumijete i uopće nije teško.
Poteškoće nastaju samo kada, u usporedbi, stupnjevi imaju različite osnove i pokazatelje. U ovom slučaju, potrebno je pokušati dovesti do zajedničkog temelja. Na primjer:
Naravno, znate da ovaj, prema tome, izraz ima oblik:
Otvorimo zagrade i usporedimo što smo dobili:
Donekle poseban slučaj je kada je baza stupnja () manja od jedan.
Ako, onda je od dva stupnja i više onaj čiji je indeks manji.
Pokušajmo dokazati ovo pravilo. Neka bude.
Uvedimo neki prirodni broj kao razliku između i.
Logično, zar ne?
A sada još jednom obratimo pozornost na stanje - .
Odnosno: . Stoga, .
Na primjer:
Kao što razumijete, razmotrili smo slučaj kada su osnovice ovlasti jednake. Sada da vidimo kada je baza u intervalu od do, ali su eksponenti jednaki. Ovdje je sve vrlo jednostavno.
Prisjetimo se kako to usporediti pomoću primjera:
Naravno, brzo ste izračunali:
Stoga, kada naiđete na slične zadatke za usporedbu, imajte na umu neki jednostavan sličan primjer koji možete brzo izračunati, te na temelju tog primjera upišite znakove u složeniji.
Kada izvodite transformacije, zapamtite da ako množite, zbrajate, oduzimate ili dijelite, tada sve radnje moraju biti učinjene s lijevom i desnom stranom (ako množite s, morate množiti obje).
Osim toga, postoje slučajevi kada je jednostavno neisplativo raditi bilo kakve manipulacije. Na primjer, trebate usporediti. U ovom slučaju nije tako teško podići na snagu i rasporediti znak na temelju ovoga:
Idemo vjezbati. Usporedite stupnjeve:
Jeste li spremni za usporedbu odgovora? Evo što sam dobio:
- - isto kao
- - isto kao
- - isto kao
- - isto kao
3. Uspoređivanje brojeva s korijenima
Prvo, sjetimo se što su korijeni? Sjećate li se ove snimke?
Korijen potencije realnog broja je broj za koji vrijedi jednakost.
Korijenje neparnog stupnja postoje za negativne i pozitivne brojeve, i čak i korijenje- samo za pozitivne.
Vrijednost korijena često je beskonačna decimalna točka, što otežava točan izračun, stoga je važno moći usporediti korijene.
Ako ste zaboravili što je i s čime se jede - . Ako se svega sjećate, naučimo uspoređivati korijene korak po korak.
Recimo da trebamo usporediti:
Da biste usporedili ova dva korijena, ne morate raditi nikakve izračune, samo analizirajte sam koncept "korijena". Shvaćaš li o čemu govorim? Da, o ovome: inače se može napisati kao treća potencija nekog broja, jednaka radikalnom izrazu.
Što je više? ili? Naravno, to možete usporediti bez ikakvih poteškoća. Što je veći broj koji dižemo na potenciju, to će vrijednost biti veća.
Tako. Izvedimo pravilo.
Ako su eksponenti korijena isti (u našem slučaju to jest), tada je potrebno usporediti radikalne izraze (i) - što je veći radikalni broj, to je veća vrijednost korijena s jednakim eksponentima.
Teško za pamćenje? Onda samo zadržite primjer u glavi i... To više?
Eksponenti korijena su isti, jer je korijen kvadratan. Radikalni izraz jednog broja () veći je od drugog (), što znači da je pravilo stvarno istinito.
Što ako su radikalni izrazi isti, ali su stupnjevi korijena različiti? Na primjer: .
Također je sasvim jasno da će se kod vađenja korijena većeg stupnja dobiti manji broj. Uzmimo za primjer:
Označimo vrijednost prvog korijena kao, a drugog - kao, tada:
Lako možete vidjeti da u ovim jednadžbama mora biti više, dakle:
Ako su radikalni izrazi isti(u našem slučaju), a eksponenti korijena su različiti(u našem slučaju to je i), tada je potrebno usporediti eksponente(I) - što je veći pokazatelj, to je manji ovaj izraz.
Pokušajte usporediti sljedeće korijene:
Usporedimo rezultate?
Ovo smo uspješno riješili :). Postavlja se još jedno pitanje: što ako smo svi različiti? I stupanj i radikalni izraz? Nije sve tako komplicirano, samo se trebamo... “riješiti” korijena. Da da. Samo ga se riješi)
Ako imamo različite stupnjeve i radikalne izraze, trebamo pronaći najmanji zajednički višekratnik (pročitajte odjeljak o tome) za eksponente korijena i podići oba izraza na potenciju jednaku najmanjem zajedničkom višekratniku.
Da smo svi u riječima i riječima. Evo primjera:
- Gledamo pokazatelje korijena - i. Njihov najmanji zajednički višekratnik je .
- Podignimo oba izraza na potenciju:
- Transformirajmo izraz i otvorimo zagrade (detaljnije u poglavlju):
- Prebrojimo što smo učinili i stavimo znak:
4. Usporedba logaritama
Tako smo, polako ali sigurno, došli do pitanja kako uspoređivati logaritme. Ako se ne sjećate koja je ovo životinja, savjetujem vam da prvo pročitate teoriju iz odjeljka. Jeste li ga pročitali? Zatim odgovorite na nekoliko važnih pitanja:
- Što je argument logaritma i koja je njegova baza?
- Što određuje hoće li funkcija rasti ili padati?
Ako se svega sjećate i savršeno ste to savladali, počnimo!
Da biste međusobno usporedili logaritme, trebate znati samo 3 tehnike:
- svođenje na istu osnovicu;
- svođenje na isti argument;
- usporedba s trećim brojem.
U početku obratite pozornost na bazu logaritma. Sjećate li se da ako je manje, onda funkcija opada, a ako je više, onda raste. Na tome će se temeljiti naše prosudbe.
Razmotrimo usporedbu logaritama koji su već svedeni na istu bazu ili argument.
Za početak, pojednostavimo problem: unesimo usporedne logaritme jednake osnove. Zatim:
- Funkcija, for, raste na intervalu od, što znači, po definiciji, tada (“izravna usporedba”).
- Primjer:- razlozi su isti, uspoređujemo argumente prema tome: , dakle:
- Funkcija, at, opada na intervalu od, što znači, po definiciji, onda (“obrnuta usporedba”). - baze su iste, uspoređujemo argumente u skladu s tim: međutim, predznak logaritama će biti "obrnut", jer je funkcija opadajuća: .
Sada razmotrite slučajeve u kojima su razlozi različiti, ali su argumenti isti.
- Baza je veća.
- . U ovom slučaju koristimo "obrnutu usporedbu". Na primjer: - argumenti su isti, i. Usporedimo baze: međutim, predznak logaritama bit će "obrnut":
- Baza a je u procjepu.
- . U ovom slučaju koristimo "izravnu usporedbu". Na primjer:
- . U ovom slučaju koristimo "obrnutu usporedbu". Na primjer:
Zapišimo sve u općem tabelarnom obliku:
| , pri čemu | , pri čemu | |
Sukladno tome, kao što ste već shvatili, kada uspoređujemo logaritme, moramo doći do iste baze, odnosno argumenta, a do iste baze dolazimo pomoću formule za prelazak s jedne baze na drugu.
Također možete usporediti logaritme s trećim brojem i na temelju toga zaključiti što je manje, a što više. Na primjer, razmislite o tome kako usporediti ova dva logaritma?
Mali savjet - za usporedbu će vam puno pomoći logaritam čiji će argument biti jednak.
Misao? Odlučimo zajedno.
Lako s vama možemo usporediti ova dva logaritma:
Ne znate kako? Vidi gore. Upravo smo ovo riješili. Kakav će znak biti? Pravo:
Slažem se?
Usporedimo jedno s drugim:
Trebali biste dobiti sljedeće:
Sada spojite sve naše zaključke u jedan. Dogodilo se?
5. Usporedba trigonometrijskih izraza.
Što je sinus, kosinus, tangens, kotangens? Zašto nam treba jedinična kružnica i kako na njoj pronaći vrijednost trigonometrijskih funkcija? Ako ne znate odgovore na ova pitanja, toplo preporučam da pročitate teoriju na ovu temu. A ako znaš, onda ti međusobno uspoređivanje trigonometrijskih izraza nije teško!
Da malo osvježimo pamćenje. Nacrtajmo jediničnu trigonometrijsku kružnicu i u nju upisani trokut. Jeste li uspjeli? Sada označite na koju stranu ucrtavamo kosinus, a na koju sinus, koristeći stranice trokuta. (vi se, naravno, sjećate da je sinus omjer suprotne stranice i hipotenuze, a kosinus susjedne stranice?). Jeste li ga nacrtali? Sjajno! Posljednji detalj je da ispišemo gdje ćemo to imati, gdje i tako dalje. Jesi li ga spustio? Fuj) Usporedimo što se dogodilo tebi i meni.
Fuj! Sada krenimo s usporedbom!
Recimo da trebamo usporediti i. Nacrtajte ove kutove prema uputama u okvirima (gdje smo označili gdje), stavljajući točke na jediničnu kružnicu. Jeste li uspjeli? Evo što sam dobio.
Sada spustimo okomicu iz točaka koje smo označili na kružnici na os... Koju? Koja os pokazuje vrijednost sinusa? Točno, . Ovo je ono što biste trebali dobiti:
Gledajući ovu sliku, koja je veća: ili? Naravno, jer točka je iznad točke.
Na sličan način uspoređujemo vrijednost kosinusa. Spuštamo samo okomicu na os... Tako je, . Prema tome, gledamo koja je točka desno (ili više, kao u slučaju sinusa), tada je vrijednost veća.
Vjerojatno već znate kako uspoređivati tangente, zar ne? Sve što trebate znati je što je tangenta. Dakle, što je tangens?) Tako je, omjer sinusa i kosinusa.
Za usporedbu tangenti crtamo kut na isti način kao u prethodnom slučaju. Recimo da trebamo usporediti:
Jeste li ga nacrtali? Sada također označavamo vrijednosti sinusa na koordinatnoj osi. Jeste li primijetili? Sada označite vrijednosti kosinusa na koordinatnoj liniji. Dogodilo se? Usporedimo:
Sada analiziraj ovo što si napisao. - veliki segment dijelimo na mali. Odgovor će sadržavati vrijednost koja je definitivno veća od jedan. Pravo?
A kad dijelimo malo s velikim. Odgovor će biti broj koji je točno manji od jedan.
Dakle, koji trigonometrijski izraz ima veću vrijednost?
Pravo:
Kao što sada razumijete, usporedba kotangenata je ista stvar, samo obrnuto: gledamo kako su segmenti koji definiraju kosinus i sinus međusobno povezani.
Pokušajte sami usporediti sljedeće trigonometrijske izraze:
Primjeri.
Odgovori.
USPOREDBA BROJEVA. PROSJEČNA RAZINA.
Koji je broj veći: ili? Odgovor je očit. A sad: ili? Nije više tako očito, zar ne? Dakle: ili?
Često morate znati koji je brojčani izraz veći. Na primjer, kako bi se točke na osi postavile ispravnim redoslijedom pri rješavanju nejednadžbe.
Sada ću vas naučiti kako uspoređivati takve brojeve.
Ako trebate usporediti brojeve i, između njih stavljamo znak (izvedeno od latinske riječi Versus ili skraćeno vs. - protiv): . Ovaj znak zamjenjuje nepoznati znak nejednakosti (). Zatim ćemo izvoditi identične transformacije sve dok ne postane jasno koji znak treba staviti između brojeva.
Bit usporedbe brojeva je sljedeća: prema znaku se odnosimo kao prema nekakvom znaku nejednakosti. A s izrazom možemo učiniti sve što obično radimo s nejednakostima:
- dodati bilo koji broj na obje strane (a, naravno, možemo i oduzeti)
- “pomaknuti sve na jednu stranu”, odnosno oduzeti jedan od uspoređivanih izraza od oba dijela. Na mjestu oduzetog izraza ostat će: .
- pomnožiti ili podijeliti istim brojem. Ako je taj broj negativan, znak nejednakosti je obrnut: .
- podići obje strane na istu snagu. Ako je ova potencija parna, morate paziti da oba dijela imaju isti predznak; ako su oba dijela pozitivna, predznak se ne mijenja kad se podigne na potenciju, ali ako su negativni, tada se mijenja u suprotan.
- iz oba dijela izvadite korijen istog stupnja. Ako izvlačimo korijen parnog stupnja, prvo se moramo uvjeriti da su oba izraza nenegativna.
- sve druge ekvivalentne transformacije.
Važno: preporučljivo je napraviti transformacije tako da se znak nejednakosti ne mijenja! To jest, tijekom transformacija, nepoželjno je množiti s negativnim brojem, a ne možete ga kvadrirati ako je jedan od dijelova negativan.
Pogledajmo nekoliko tipičnih situacija.
1. Potenciranje.
Primjer.
Što je više: ili?
Riješenje.
Budući da su obje strane nejednakosti pozitivne, možemo je kvadrirati da se riješimo korijena:
Primjer.
Što je više: ili?
Riješenje.
Ovdje ga također možemo kvadrirati, ali to će nam samo pomoći da se riješimo kvadratnog korijena. Ovdje ga je potrebno podići do tog stupnja da oba korijena nestanu. To znači da eksponent ovog stupnja mora biti djeljiv i sa (stupanj prvog korijena) i sa. Ovaj broj se, dakle, diže na tu potenciju:
2. Množenje svojim konjugatom.
Primjer.
Što je više: ili?
Riješenje.
Pomnožimo i podijelimo svaku razliku konjugiranim zbrojem:
Očito je nazivnik na desnoj strani veći od nazivnika na lijevoj strani. Dakle, desni razlomak je manji od lijevog:
3. Oduzimanje
Zapamtimo to.
Primjer.
Što je više: ili?
Riješenje.
Naravno, mogli bismo sve poravnati, pregrupirati i ponovno poravnati. Ali možete učiniti nešto pametnije:
Može se vidjeti da je na lijevoj strani svaki član manji od svakog člana na desnoj strani.
Prema tome, zbroj svih članova na lijevoj strani manji je od zbroja svih članova na desnoj strani.
Ali budi pažljiv! Pitali su nas što još...
Desna strana je veća.
Primjer.
Usporedite brojke i...
Riješenje.
Prisjetimo se trigonometrijskih formula:
Provjerimo u kojim četvrtinama trigonometrijske kružnice leže točke i.
4. Podjela.
Ovdje također koristimo jednostavno pravilo: .
Na ili, tj.
Pri promjeni predznaka: .
Primjer.
Usporedi: .
Riješenje.
5. Usporedi brojeve s trećim brojem
Ako je i, tada (zakon tranzitivnosti).
Primjer.
Usporedi.
Riješenje.
Usporedimo brojke ne jedne s drugima, nego s brojem.
Očito je da.
Na drugoj strani, .
Primjer.
Što je više: ili?
Riješenje.
Oba broja su veća, ali manja. Odaberimo broj takav da bude veći od jednog, ali manji od drugog. Na primjer, . Provjerimo:
6. Što učiniti s logaritmima?
Ništa posebno. Kako se riješiti logaritama detaljno je opisano u temi. Osnovna pravila su:
\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \klin (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \klin y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]
Također možemo dodati pravilo o logaritmima s različitim bazama i istim argumentom:
To se može objasniti na sljedeći način: što je baza veća, morat će se podići za manji stupanj da bi se dobila ista stvar. Ako je baza manja, tada je suprotno jer je odgovarajuća funkcija monotono opadajuća.
Primjer.
Usporedi brojeve: i.
Riješenje.
Prema gore navedenim pravilima:
A sada formula za napredne.
Pravilo za usporedbu logaritama može se ukratko napisati:
Primjer.
Što je više: ili?
Riješenje.
Primjer.
Usporedi koji je broj veći: .
Riješenje.
USPOREDBA BROJEVA. UKRATKO O GLAVNOM
1. Potenciranje
Ako su obje strane nejednakosti pozitivne, mogu se kvadrirati da se riješimo korijena
2. Množenje svojim konjugatom
Konjugat je faktor koji dopunjuje izraz do formule razlike kvadrata: - konjugat za i obrnuto, jer .
3. Oduzimanje
4. Podjela
Kada ili to jest
Kada se znak promijeni:
5. Usporedba s trećim brojem
Ako i tada
6. Usporedba logaritama
Osnovna pravila:
Logaritmi s različitim bazama i istim argumentom:
Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, znači da ste vrlo cool.
Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!
Sada ono najvažnije.
Razumjeli ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.
Problem je što to možda neće biti dovoljno...
Za što?
Za uspješno položen Jedinstveni državni ispit, za upis na proračun na fakultet i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, za život.
Neću te uvjeravati ni u što, samo ću jedno reći...
Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju puno više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.
Ali to nije glavna stvar.
Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? ne znam...
Ali razmislite sami...
Što je potrebno da biste bili bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju bili... sretniji?
USPORITE SE RJEŠAVANJEM ZADATAKA NA OVU TEMU.
Tijekom ispita nećete tražiti teoriju.
Trebat će vam rješavati probleme protiv vremena.
A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili jednostavno nećete imati vremena.
To je kao u sportu - trebaš ponoviti mnogo puta da bi sigurno pobijedio.
Pronađite kolekciju gdje god želite, obavezno s rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!
Možete koristiti naše zadatke (neobavezno) i mi ih, naravno, preporučujemo.
Kako biste se bolje snašli u našim zadacima, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.
Kako? Postoje dvije mogućnosti:
- Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
- Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 899 RUR
Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i odmah se otvara pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.
Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je CIJELI život stranice.
U zaključku...
Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.
“Razumijem” i “Mogu riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.
Pronađite probleme i riješite ih!
PERVUŠKIN BORIS NIKOLAJEVIČ
Privatna obrazovna ustanova "St. Petersburg škola "Tete-a-Tete"
Profesor matematike najviše kategorije
Uspoređivanje brojeva po modulu
Definicija 1. Ako dva broja1 ) aIbkada se podijeli sastrdati isti ostatakr, tada se takvi brojevi nazivaju ekviremainder iliusporedivi po modulu str.
Izjava 1. Nekastrneki pozitivan broj. Zatim svaki brojauvijek i, štoviše, na jedini način koji se može prikazati u obliku
| a=sp+r, | (1) |
Gdjes- broj, irjedan od brojeva 0,1, ...,str−1.
1 ) U ovom ćemo članku pod riječju broj podrazumijevati cijeli broj.
Stvarno. Akosprimit će vrijednost od −∞ do +∞, zatim brojevesppredstavljaju skup svih brojeva koji su višekratnicistr. Pogledajmo brojeve izmeđuspi (s+1) p=sp+p. Jerstrje pozitivan cijeli broj, zatim izmeđuspIsp+ppostoje brojevi
Ali ti se brojevi mogu dobiti postavljanjemrjednako 0, 1, 2,...,str−1. Stogasp+r=adobit će sve moguće cjelobrojne vrijednosti.
Pokažimo da je ovaj prikaz jedinstven. Hajdemo to pretvaratistrmože se prikazati na dva načinaa=sp+rIa=s1 str+ r1 . Zatim
ili
| (2) |
Jerr1 prihvaća jedan od brojeva 0,1, ...,str−1, zatim apsolutna vrijednostr1 − rmanjestr. Ali iz (2) slijedi dar1 − rvišestrukistr. Stogar1 = rIs1 = s.
Brojrnazvaominus brojevimaamodulostr(drugim riječima, brojrzove se ostatak brojaanastr).
Izjava 2. Ako dva brojaaIbusporedivi po modulustr, Toa−bpodjeljeno sastr.
Stvarno. Ako dva brojaaIbusporedivi po modulustr, onda kada se podijeli sastrimaju isti ostatakstr. Zatim
GdjesIs1 neki cijeli brojevi.
Razlika ovih brojeva
| (3) |
podjeljeno sastr, jer desna strana jednadžbe (3) podijeljena je sstr.
Izjava 3. Ako je razlika dvaju brojeva djeljiva sastr, onda su ti brojevi usporedivi u modulustr.
Dokaz. Označimo sarIr1 ostaci dijeljenjaaIbnastr. Zatim
gdje
Premaa−bpodjeljeno sastr. Stogar− r1 također je djeljiv sastr. Ali zbogrIr1 brojevi 0,1,...,str−1, zatim apsolutna vrijednost |r− r1 |< str. Zatim, kako bir− r1 podjeljeno sastruvjet mora biti ispunjenr= r1 .
Iz tvrdnje proizlazi da su usporedivi brojevi oni brojevi čija je razlika djeljiva modulom.
Ako trebate zapisati te brojeveaIbusporedivi po modulustr, tada koristimo oznaku (koju je uveo Gauss):
| a≡bmod(str) |
Primjeri 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).
Iz prvog primjera slijedi da 25 kada se podijeli sa 7 daje isti ostatak kao 39. Doista, 25 = 3·7+4 (ostatak 4). 39=3·7+4 (ostatak 4). Kada razmatrate drugi primjer, trebate uzeti u obzir da ostatak mora biti nenegativan broj manji od modula (tj. 4). Tada možemo napisati: −18=−5·4+2 (ostatak 2), 14=3·4+2 (ostatak 2). Prema tome, −18 kada se podijeli s 4 ostavlja ostatak 2, a 14 kada se podijeli s 4 ostavlja ostatak 2.
Svojstva modulo usporedbi
Vlasništvo 1. Za bilo kogaaIstrStalno
| a≡amod(str). |
Vlasništvo 2. Ako dva brojaaIcusporediv s brojembmodulostr, ToaIcmeđusobno usporedivi prema istom modulu, tj. Ako
| a≡bmod(str), b≡cmod(str). |
Da
| a≡cmod(str). |
Stvarno. Iz uvjeta svojstva 2 slijedia−bIb−cdijele se nastr. Zatim njihov zbroja−b+(b−c)=a−ctakođer podijeljen nastr.
Vlasništvo 3. Ako
| a≡bmod(str) Im≡nmod(str), |
Da
| a+m≡b+nmod(str) Ia−m≡b−nmod(str). |
Stvarno. Jera−bIm−ndijele se nastr, To
| ( a−b)+ ( m−n)=( a+m)−( b+n) , |
| ( a−b)−( m−n)=( a−m)−( b−n) |
također podijeljen nastr.
Ovo se svojstvo može proširiti na bilo koji broj usporedbi koje imaju isti modul.
Vlasništvo 4. Ako
| a≡bmod(str) Im≡nmod(str), |
Da
Unaprijeditim−npodjeljeno sastr, stogab(m−n)=bm−bntakođer podijeljen nastr, Sredstva
| bm≡bnmod(str). |
Dakle dva brojaamIbnusporediv po modulu s istim brojembm, stoga su međusobno usporedivi (svojstvo 2).
Vlasništvo 5. Ako
| a≡bmod(str). |
Da
| ak≡bkmod(str). |
Gdjekneki nenegativan cijeli broj.
Stvarno. Imamoa≡bmod(str). Iz svojstva 4 slijedi
| ................. |
| ak≡bkmod(str). |
Predstavite sva svojstva 1-5 u sljedećoj izjavi:
Izjava 4. Nekaf( x1 , x2 , x3 , ...) je cijela racionalna funkcija s cijelim koeficijentima i neka
| a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 , a3 ≡ b3 , ... mod (str). |
Zatim
| f( a1 , a2 , a3 , ...)≡ f( b1 , b2 , b3 , ...) mod (str). |
S podjelom je sve drugačije. Iz usporedbe
Izjava 5. Neka
Gdjeλ Ovajnajveći zajednički djeliteljbrojevimamIstr.
Dokaz. Nekaλ najveći zajednički djelitelj brojevamIstr. Zatim
Jerm(a−b)podjeljeno sak, To
ima ostatak nula, tj.m1 ( a−b) podjeljeno sak1 . Ali brojkem1 Ik1 brojevi su relativno prosti. Stogaa−bpodjeljeno sak1 = k/λi onda,p,q,s.
Stvarno. Razlikaa≡bmora biti višekratnikp,q,s.i stoga mora biti višestrukah.
U posebnom slučaju, ako modulip,q,smeđusobno prosti brojevi, dakle
| a≡bmod(h), |
Gdjeh=pqs.
Imajte na umu da možemo dopustiti usporedbe na temelju negativnih modula, tj. usporedbaa≡bmod(str) znači u ovom slučaju da razlikaa−bpodjeljeno sastr. Sva svojstva usporedbi ostaju na snazi za negativne module.
Za dva cijela broja x I na Uvedimo relaciju usporedivosti po parnosti ako je njihova razlika paran broj. Lako je provjeriti da su sva tri prethodno uvedena uvjeta ekvivalencije zadovoljena. Ovako uvedena relacija ekvivalencije dijeli cijeli skup cijelih brojeva na dva disjunktna podskupa: podskup parnih brojeva i podskup neparnih brojeva.
Generalizirajući ovaj slučaj, reći ćemo da su dva cijela broja koja se razlikuju višekratnikom nekog fiksnog prirodnog broja ekvivalentna. Ovo je osnova za koncept modulo usporedivosti, koji je uveo Gauss.
Broj A, usporedivo s b modulo m, ako je njihova razlika djeljiva fiksnim prirodnim brojem m, to je a - b podjeljeno sa m. Simbolično je ovo napisano kao:
a ≡ b(mod m),
a glasi ovako: A usporedivo s b modulo m.
Ovako uvedena relacija, zahvaljujući dubokoj analogiji između usporedbi i jednakosti, pojednostavljuje izračune u kojima brojevi koji se razlikuju višekratnikom m, zapravo se ne razlikuju (jer je usporedba jednakost do nekog višekratnika m).
Na primjer, brojevi 7 i 19 su usporedivi po modulu 4, ali nisu usporedivi po modulu 5, jer 19-7=12 je djeljivo sa 4, ali nije djeljivo sa 5.
Može se reći i da broj x modulo m jednak ostatku pri dijeljenju cijelim brojem x na m, jer
x=km+r, r = 0, 1, 2, ... , m-1.
Lako je provjeriti da usporedivost brojeva prema zadanom modulu ima sva svojstva ekvivalencije. Stoga je skup cijelih brojeva podijeljen u klase brojeva usporedivih po modulu m. Broj takvih klasa je jednak m, i svi brojevi iste klase kada se dijele s m dati isti ostatak. Na primjer, ako m= 3, tada dobivamo tri klase: klasu brojeva koji su višekratnici broja 3 (daju ostatak 0 kada se dijele s 3), klasu brojeva koji ostavljaju ostatak 1 kada dijele s 3 i klasu brojeva koji ostavljaju ostatak 2 kada se podijeli sa 3.
Primjere uporabe usporedbi daju poznati kriteriji djeljivosti. Uobičajeni prikaz brojeva n brojeva u decimalnom brojevnom sustavu ima oblik:
n = c10 2 + b10 1 + a10 0,
Gdje a, b, c,- znamenke broja napisane s desna na lijevo, dakle A- broj jedinica, b- broj desetica itd. Od 10k ≡ 1(mod9) za bilo koji k≥0, tada iz napisanog slijedi da
n ≡ c + b + a(mod9),
odakle slijedi test djeljivosti s 9: n je djeljiv s 9 ako i samo ako je zbroj njegovih znamenki djeljiv s 9. Ovo razmišljanje vrijedi i kada se 9 zamijeni s 3.
Dobivamo test djeljivosti s 11. Usporedbe se odvijaju:
10≡- 1(mod11), 10 2 ≡ 1(mod11) 10 3 ≡- 1(mod11), i tako dalje. Zato n ≡ c - b + a - ….(mod11).
Stoga, n djeljiv je s 11 ako i samo ako je naizmjenični zbroj njegovih znamenki a - b + c -... djeljiv s 11.
Na primjer, naizmjenični zbroj znamenki broja 9581 je 1 - 8 + 5 - 9 = -11, djeljiv je s 11, što znači da je broj 9581 djeljiv s 11.
Ako postoje usporedbe: , tada se mogu zbrajati, oduzimati i množiti član po član na isti način kao jednakosti:
Usporedba se uvijek može pomnožiti cijelim brojem:
ako tada
Međutim, reduciranje usporedbe bilo kojim faktorom nije uvijek moguće, npr. nemoguće ju je reducirati zajedničkim faktorom 6 za brojeve 42 i 12; takvo smanjenje dovodi do netočnog rezultata, jer .
Iz definicije usporedivosti modula slijedi da je redukcija za faktor dopuštena ako je taj faktor jednakoprost modulu.
Gore je već navedeno da je svaki cijeli broj usporediv mod m jednim od sljedećih brojeva: 0, 1, 2,... , m-1.
Osim ovog niza, postoje i drugi nizovi brojeva koji imaju isto svojstvo; tako, na primjer, bilo koji broj je usporediv mod 5 s jednim od sljedećih brojeva: 0, 1, 2, 3, 4, ali također usporediv s jednim od sljedećih brojeva: 0, -4, -3, -2, - 1 ili 0, 1, -1, 2, -2. Svaki takav niz brojeva naziva se potpunim sustavom ostataka po modulu 5.
Dakle, kompletan sustav rezidua mod m bilo koja serija m brojeva, od kojih niti jedna dva nisu međusobno usporediva. Obično se koristi kompletan sustav odbitaka koji se sastoji od brojeva: 0, 1, 2, ..., m-1. Oduzimanje broja n modulo m je ostatak dijeljenja n na m, što proizlazi iz prikaza n = km + r, 0<r<m- 1.
Nastavljamo proučavati racionalne brojeve. U ovoj lekciji ćemo naučiti kako ih usporediti.
Iz prethodnih lekcija smo naučili da što se broj nalazi više udesno na koordinatnoj liniji, to je veći. I u skladu s tim, što se lijevo broj nalazi na koordinatnoj liniji, to je manji.
Na primjer, ako usporedite brojeve 4 i 1, odmah možete odgovoriti da je 4 više od 1. To je sasvim logična tvrdnja s kojom će se svi složiti.
Kao dokaz možemo navesti koordinatni pravac. Pokazuje da četiri leži desno od jedinice
Za ovaj slučaj također postoji pravilo koje se može koristiti po želji. Ovako izgleda:
Od dva pozitivna broja veći je onaj broj čiji je modul veći.
Da biste odgovorili na pitanje koji je broj veći, a koji manji, prvo morate pronaći module tih brojeva, usporediti te module, a zatim odgovoriti na pitanje.
Na primjer, usporedite iste brojeve 4 i 1, primjenjujući gornje pravilo
Pronalaženje modula brojeva:
|4| = 4
|1| = 1
Usporedimo pronađene module:
4 > 1
Odgovaramo na pitanje:
4 > 1
Za negativne brojeve postoji još jedno pravilo, ono izgleda ovako:
Od dva negativna broja veći je onaj broj čiji je modul manji.
Na primjer, usporedite brojeve −3 i −1
Pronalaženje modula brojeva
|−3| = 3
|−1| = 1
Usporedimo pronađene module:
3 > 1
Odgovaramo na pitanje:
−3 < −1
Modul broja ne treba brkati sa samim brojem. Uobičajena pogreška koju čine mnogi početnici. Na primjer, ako je modul od −3 veći od modula od −1, to ne znači da je −3 veći od −1.
Broj −3 manji je od broja −1. To se može razumjeti ako se poslužimo koordinatnom crtom
Vidi se da broj −3 leži lijevo od −1. A znamo da što više lijevo, to manje.
Usporedite li negativan broj s pozitivnim, odgovor će se sam nametnuti. Svaki negativan broj bit će manji od bilo kojeg pozitivnog broja. Na primjer, −4 je manje od 2
Može se vidjeti da −4 leži više lijevo od 2. A znamo da "što više lijevo, to manje."
Ovdje, prije svega, morate pogledati znakove brojeva. Znak minus ispred broja označava da je broj negativan. Ako znak broja nedostaje, onda je broj pozitivan, ali ga možete zapisati radi jasnoće. Podsjetimo da je ovo znak plus
Kao primjer, pogledali smo cijele brojeve u obliku −4, −3 −1, 2. Usporedba takvih brojeva, kao i njihovo prikazivanje na koordinatnoj liniji, nije teško.
Mnogo je teže uspoređivati druge vrste brojeva, kao što su razlomci, mješoviti brojevi i decimale, od kojih su neki negativni. Ovdje ćete u osnovi morati primijeniti pravila, jer takve brojeve nije uvijek moguće točno prikazati na koordinatnoj liniji. U nekim će slučajevima biti potreban broj radi lakše usporedbe i razumijevanja.
Primjer 1. Usporedite racionalne brojeve
Dakle, trebate usporediti negativan broj s pozitivnim. Svaki negativan broj manji je od bilo kojeg pozitivnog broja. Stoga, bez gubljenja vremena, odgovaramo da je manje od
Primjer 2.
Morate usporediti dva negativna broja. Od dva negativna broja veći je onaj čija je veličina manja.
Pronalaženje modula brojeva:
Usporedimo pronađene module:
Primjer 3. Usporedi brojeve 2.34 i
Morate usporediti pozitivan broj s negativnim. Svaki pozitivan broj veći je od bilo kojeg negativnog broja. Stoga, bez gubljenja vremena, odgovaramo da je 2,34 više od
Primjer 4. Usporedi racionalne brojeve i
Pronalaženje modula brojeva:
Uspoređujemo pronađene module. Ali prvo ih dovedimo do jasnog oblika radi lakšeg uspoređivanja, naime, pretvorit ćemo ih u neprave razlomke i dovesti na zajednički nazivnik
Prema pravilu, od dva negativna broja veći je onaj broj čiji je modul manji. To znači da je racionalno veće od , jer je modul broja manji od modula broja
Primjer 5.
Morate usporediti nulu s negativnim brojem. Nula je veća od bilo kojeg negativnog broja, pa bez gubljenja vremena odgovaramo da je 0 veća od
Primjer 6. Usporedi racionalne brojeve 0 i
Morate usporediti nulu s pozitivnim brojem. Nula je manja od bilo kojeg pozitivnog broja, pa bez gubljenja vremena odgovaramo da je 0 manja od
Primjer 7. Usporedite racionalne brojeve 4,53 i 4,403
Morate usporediti dva pozitivna broja. Od dva pozitivna broja veći je onaj broj čiji je modul veći.
Neka broj znamenki iza decimalne točke bude jednak u oba razlomka. Da bismo to učinili, u razlomku 4.53 dodamo jednu nulu na kraju
Pronalaženje modula brojeva
Usporedimo pronađene module:
Prema pravilu, od dva pozitivna broja veći je onaj broj čija je apsolutna vrijednost veća. To znači da je racionalni broj 4,53 veći od 4,403 jer je modul 4,53 veći od modula 4,403
Primjer 8. Usporedi racionalne brojeve i
Morate usporediti dva negativna broja. Od dva negativna broja veći je onaj broj čiji je modul manji.
Pronalaženje modula brojeva:
Uspoređujemo pronađene module. Ali prvo ih dovedimo do jasnog oblika radi lakšeg uspoređivanja, naime, pretvorit ćemo mješoviti broj u nepravi razlomak, zatim ćemo oba razlomka dovesti do zajedničkog nazivnika:
Prema pravilu, od dva negativna broja veći je onaj broj čiji je modul manji. To znači da je racionalno veće od , jer je modul broja manji od modula broja
Uspoređivanje decimala puno je lakše od uspoređivanja razlomaka i mješovitih brojeva. U nekim slučajevima, gledajući cijeli dio takvog ulomka, možete odmah odgovoriti na pitanje koji je ulomak veći, a koji je manji.
Da biste to učinili, morate usporediti module cijelih dijelova. To će vam omogućiti da brzo odgovorite na pitanje u zadatku. Uostalom, kao što znate, cijeli dijelovi u decimalnim razlomcima imaju veću težinu od razlomaka.
Primjer 9. Usporedi racionalne brojeve 15.4 i 2.1256
Modul cijelog dijela razlomka je 15,4 veći od modula cijelog dijela razlomka 2,1256
stoga je razlomak 15,4 veći od razlomka 2,1256
15,4 > 2,1256
Drugim riječima, nismo morali gubiti vrijeme dodajući nule razlomku 15.4 i uspoređujući dobivene razlomke poput običnih brojeva
154000 > 21256
Pravila usporedbe ostaju ista. U našem slučaju uspoređivali smo pozitivne brojeve.
Primjer 10. Usporedite racionalne brojeve −15,2 i −0,152
Morate usporediti dva negativna broja. Od dva negativna broja veći je onaj broj čiji je modul manji. Ali uspoređivat ćemo samo module cjelobrojnih dijelova
Vidimo da je modul cijelog dijela razlomka −15,2 veći od modula cijelog dijela razlomka −0,152.
To znači da je racionalni −0,152 veći od −15,2 jer je modul cijelog dijela broja −0,152 manji od modula cijelog dijela broja −15,2
−0,152 > −15,2
Primjer 11. Usporedite racionalne brojeve −3,4 i −3,7
Morate usporediti dva negativna broja. Od dva negativna broja veći je onaj broj čiji je modul manji. Ali uspoređivat ćemo samo module cjelobrojnih dijelova. Ali problem je u tome što su moduli cijelih brojeva jednaki:
U ovom slučaju morat ćete koristiti staru metodu: pronaći module racionalnih brojeva i usporediti te module
Usporedimo pronađene module:
Prema pravilu, od dva negativna broja veći je onaj broj čiji je modul manji. To znači da je racionalno −3,4 veće od −3,7 jer je modul broja −3,4 manji od modula broja −3,7
−3,4 > −3,7
Primjer 12. Usporedi racionalne brojeve 0,(3) i
Morate usporediti dva pozitivna broja. Štoviše, usporedite periodični razlomak s jednostavnim razlomkom.
Pretvorimo periodički razlomak 0,(3) u obični razlomak i usporedimo ga s razlomkom . Nakon pretvaranja periodičkog razlomka 0,(3) u obični razlomak, on postaje razlomak
Pronalaženje modula brojeva:
Uspoređujemo pronađene module. No, prvo ih dovedimo do razumljivog oblika radi lakše usporedbe, naime dovedimo ih do zajedničkog nazivnika: 
Prema pravilu, od dva pozitivna broja veći je onaj broj čija je apsolutna vrijednost veća. To znači da je racionalan broj veći od 0,(3) jer je modul broja veći od modula broja 0,(3)
Je li vam se svidjela lekcija?
Pridružite se našoj novoj grupi VKontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama