Definīcija 1. Ja divi skaitļi ir 1) a Un b kad dala ar lpp dod to pašu atlikumu r, tad šādus skaitļus sauc par equiremainder vai salīdzināms pēc moduļa lpp.
Paziņojums, apgalvojums 1. Ļaujiet lpp kāds pozitīvs skaitlis. Tad katrs cipars a vienmēr un turklāt vienīgajā veidā var attēlot formā
Bet šos skaitļus var iegūt, iestatot r vienāds ar 0, 1, 2,..., lpp−1. Līdz ar to sp+r=a iegūs visas iespējamās veselo skaitļu vērtības.
Parādīsim, ka šis attēlojums ir unikāls. Izliksimies tā lpp var attēlot divos veidos a=sp+r Un a=s 1 lpp+r 1 . Tad
 |
 | (2) |
Jo r 1 pieņem vienu no skaitļiem 0,1, ..., lpp−1, tad absolūtā vērtība r 1 −r mazāk lpp. Bet no (2) izriet, ka r 1 −r vairākas lpp. Līdz ar to r 1 =r Un s 1 =s.
Numurs r sauca mīnus cipariem a modulo lpp(citiem vārdiem sakot, numurs r sauca skaitļa atlikušo daļu a ieslēgts lpp).
Paziņojums, apgalvojums 2. Ja divi cipari a Un b salīdzināms pēc moduļa lpp, Tas a-b dalīts ar lpp.
Tiešām. Ja divi cipari a Un b salīdzināms pēc moduļa lpp, tad dalot ar lpp ir tāds pats atlikums lpp. Tad
dalīts ar lpp, jo vienādojuma (3) labā puse tiek dalīta ar lpp.
Paziņojums, apgalvojums 3. Ja divu skaitļu starpība dalās ar lpp, tad šie skaitļi ir salīdzināmi pēc moduļa lpp.
Pierādījums. Apzīmēsim ar r Un r 1 divīzijas atlikums a Un b ieslēgts lpp. Tad
 |
Piemēri 25≡39 (7. mod.), –18≡14. (4. mod.).
No pirmā piemēra izriet, ka 25, dalot ar 7, iegūst tādu pašu atlikumu kā 39. Patiešām, 25 = 3·7+4 (atlikušais 4). 39=3·7+4 (atlikušais 4). Apsverot otro piemēru, jāņem vērā, ka atlikumam ir jābūt nenegatīvam skaitlim, kas ir mazāks par moduli (t.i., 4). Tad varam rakstīt: −18=−5·4+2 (atlikušais 2), 14=3·4+2 (atlikušais 2). Tāpēc −18, dalot ar 4, paliek 2, un 14, dalītu ar 4, paliek 2.
Moduļu salīdzināšanas īpašības
Īpašums 1. Jebkuram a Un lpp Vienmēr
ne vienmēr ir salīdzinājums
Kur λ ir lielākais skaitļu kopējais dalītājs m Un lpp.
Pierādījums. Ļaujiet λ lielākais kopējais skaitļu dalītājs m Un lpp. Tad
Jo m(a-b) dalīts ar k, Tas
Risinot vienādojumus un nevienādības, kā arī uzdevumus ar moduļiem, atrastās saknes ir jānovieto uz skaitļu līnijas. Kā zināms, atrastās saknes var būt dažādas. Tie var būt šādi: , vai tie var būt šādi: , .
Attiecīgi, ja skaitļi ir nevis racionāli, bet iracionāli (ja esat aizmirsis, kas tie ir, skatieties tēmā), vai arī ir sarežģītas matemātiskas izteiksmes, tad to novietošana uz skaitļu līnijas ir ļoti problemātiska. Turklāt eksāmena laikā jūs nevarat izmantot kalkulatorus, un aptuvenie aprēķini nesniedz 100% garantijas, ka viens skaitlis ir mazāks par citu (ja nu ir atšķirība starp salīdzināmajiem skaitļiem?).
Protams, jūs zināt, ka pozitīvie skaitļi vienmēr ir lielāki par negatīvajiem un, ja mēs iedomājamies skaitļa asi, tad, salīdzinot, lielākie skaitļi būs pa labi nekā mazākie: ; ; utt.
Bet vai vienmēr viss ir tik vienkārši? Kur skaitļu rindā atzīmējam, .
Kā tos var salīdzināt, piemēram, ar skaitli? Šī ir berzēšana...)
Pirmkārt, parunāsim vispārīgi par to, kā un ko salīdzināt.
Svarīgi: pārveidojumus vēlams veikt tā, lai nevienlīdzības zīme nemainītos! Tas ir, transformāciju laikā nav vēlams reizināt ar negatīvu skaitli un tas ir aizliegts kvadrāts, ja viena no daļām ir negatīva.
Daļskaitļu salīdzinājums
Tātad, mums ir jāsalīdzina divas frakcijas: un.
Ir vairākas iespējas, kā to izdarīt.
1. variants. Samaziniet daļskaitļus līdz kopsaucējam.
Rakstīsim to parastas daļskaitļa formā:
- (kā redzat, samazināju arī skaitītāju un saucēju).
Tagad mums ir jāsalīdzina daļskaitļi:
Tagad mēs varam turpināt salīdzināt divos veidos. Mēs varam:
- vienkārši apvienojiet visu pie kopsaucēja, uzrādot abas daļas kā nepareizas (skaitītājs ir lielāks par saucēju):
Kurš skaitlis ir lielāks? Tieši tā, tas, kuram ir lielāks skaitītājs, tas ir, pirmais.
- “atmetīsim” (ņemam vērā, ka no katras daļdaļas esam atņēmuši vienu, un attiecīgi daļskaitļu attiecība viena pret otru nav mainījusies) un salīdziniet daļas:
Mēs arī apvienojam tos ar kopsaucēju:
Mēs saņēmām tieši tādu pašu rezultātu kā iepriekšējā gadījumā - pirmais skaitlis ir lielāks par otro:
Pārbaudīsim arī, vai vienu atņēmām pareizi? Aprēķināsim skaitītāja starpību pirmajā un otrajā aprēķinā:
1)
2)
Tātad, mēs apskatījām, kā salīdzināt daļskaitļus, apvienojot tos līdz kopsaucējam. Pāriesim pie citas metodes – daļskaitļu salīdzināšanu, savešanu pie kopējā... skaitītāja.
2. variants. Daļskaitļu salīdzināšana, reducējot līdz kopējam skaitītājam.
Jā jā. Tā nav drukas kļūda. Šo metodi skolā reti māca, bet ļoti bieži tā ir ļoti ērta. Lai jūs ātri saprastu tā būtību, es jums uzdošu tikai vienu jautājumu - "kādos gadījumos ir vislielākā daļa no vērtības?" Protams, jūs sakāt: “kad skaitītājs ir pēc iespējas lielāks un saucējs pēc iespējas mazāks”.
Piemēram, jūs noteikti varat teikt, ka tā ir taisnība? Ko darīt, ja jāsalīdzina šādas daļskaitļi: ? Es domāju, ka jūs arī uzreiz pareizi uzliksit zīmi, jo pirmajā gadījumā tie ir sadalīti daļās, bet otrajā - veselās, kas nozīmē, ka otrajā gadījumā gabali izrādās ļoti mazi, un attiecīgi: . Kā redzat, saucēji šeit ir atšķirīgi, bet skaitītāji ir vienādi. Taču, lai salīdzinātu šīs divas daļskaitļus, nav jāmeklē kopsaucējs. Lai gan... atrodiet un paskatieties, vai salīdzināšanas zīme joprojām ir nepareiza?
Bet zīme ir tāda pati.
Atgriezīsimies pie sākotnējā uzdevuma - salīdziniet un... Salīdzināsim un... Samazināsim šīs daļskaitļus nevis līdz kopsaucējam, bet gan kopējam skaitītājam. Lai to izdarītu vienkārši skaitītājs un saucējs reiziniet pirmo daļu ar. Mēs iegūstam:
Un. Kura frakcija ir lielāka? Tieši tā, pirmais.
3. iespēja: daļskaitļu salīdzināšana, izmantojot atņemšanu.
Kā salīdzināt daļskaitļus, izmantojot atņemšanu? Jā, ļoti vienkārši. No vienas daļskaitļa mēs atņemam citu. Ja rezultāts ir pozitīvs, tad pirmā daļa (minuend) ir lielāka par otro (subtrahenda), un, ja negatīva, tad otrādi.
Mūsu gadījumā mēģināsim atņemt pirmo daļu no otrās: .
Kā jūs jau saprotat, mēs arī pārvēršam parastā daļskaitlī un iegūstam tādu pašu rezultātu - . Mūsu izteiksme izpaužas šādā formā:
Tālāk mums joprojām būs jāizmanto samazinājums līdz kopsaucējam. Jautājums ir: pirmajā veidā frakcijas pārveidojot par nepareizām, vai otrajā veidā, it kā “noņemot” vienību? Starp citu, šai darbībai ir pilnīgi matemātisks pamatojums. Skaties:
Man labāk patīk otrais variants, jo skaitītāja reizināšana, samazinot to līdz kopsaucējam, kļūst daudz vienkāršāka.
Savedīsim to pie kopsaucēja:
Šeit galvenais ir neapjukt, no kāda skaitļa un kur mēs atņēmām. Uzmanīgi apskatiet risinājuma gaitu un nejauši nesajauciet zīmes. Mēs no otrā skaitļa atņēmām pirmo skaitli un saņēmām noraidošu atbildi, tātad?.. Tieši tā, pirmais skaitlis ir lielāks par otro.
Sapratu? Mēģiniet salīdzināt daļskaitļus:
Stop, stop. Nesteidzieties pie kopsaucēja vai atņemšanas. Skatieties: varat to viegli pārvērst decimāldaļdaļā. Cik ilgi tas būs? Pa labi. Kas vēl beigās?
Šī ir vēl viena iespēja - daļskaitļu salīdzināšana, pārvēršot decimāldaļās.
4. iespēja: daļskaitļu salīdzināšana, izmantojot dalīšanu.
Jā jā. Un arī tas ir iespējams. Loģika ir vienkārša: sadalot lielāku skaitli ar mazāku skaitli, iegūstam skaitli, kas ir lielāks par vienu, un, ja mazāku skaitli dalām ar lielāku skaitli, tad atbilde iekrīt intervālā no līdz.
Lai atcerētos šo noteikumu, salīdzināšanai ņemiet jebkurus divus pirmskaitļus, piemēram, un. Vai jūs zināt, kas ir vairāk? Tagad dalīsim ar. Mūsu atbilde ir. Attiecīgi teorija ir pareiza. Ja dalām ar, iegūtais ir mazāks par vienu, kas savukārt apstiprina, ka patiesībā tas ir mazāks.
Mēģināsim piemērot šo noteikumu parastajām daļām. Salīdzināsim:
Sadaliet pirmo daļu ar otro:
Pamazām saīsināsim.
Iegūtais rezultāts ir mazāks, kas nozīmē, ka dividende ir mazāka par dalītāju, tas ir:
Mēs esam izskatījuši visas iespējamās frakciju salīdzināšanas iespējas. Kā jūs tos redzat 5:
- samazināšana līdz kopsaucējam;
- samazinājums līdz kopējam skaitītājam;
- samazinājums līdz decimāldaļai;
- atņemšana;
- nodaļa.
Vai esat gatavs trenēties? Salīdziniet frakcijas optimālā veidā:
Salīdzināsim atbildes:
- (- konvertēt decimāldaļās)
- (dala vienu daļskaitli ar otru un samazina ar skaitītāju un saucēju)
- (izvēlieties visu daļu un salīdziniet daļas, pamatojoties uz viena un tā paša skaitītāja principu)
- (dala vienu daļskaitli ar otru un samazina ar skaitītāju un saucēju).
2. Pakāpju salīdzinājums
Tagad iedomājieties, ka mums ir jāsalīdzina ne tikai skaitļi, bet arī izteiksmes, kur ir pakāpe ().
Protams, jūs varat viegli uzlikt zīmi:
Galu galā, ja pakāpi aizstājam ar reizināšanu, mēs iegūstam:
No šī mazā un primitīvā piemēra izriet noteikums:
Tagad mēģiniet salīdzināt sekojošo: . Varat arī viegli ievietot zīmi:
Jo, ja mēs kāpināšanu aizstājam ar reizināšanu...
Kopumā jūs visu saprotat, un tas nemaz nav grūti.
Grūtības rodas tikai tad, ja, salīdzinot, grādiem ir dažādas bāzes un rādītāji. Šajā gadījumā ir jācenšas novest pie kopēja pamata. Piemēram:
Protams, jūs zināt, ka šis izteiciens attiecīgi izpaužas šādā formā:
Atvērsim iekavas un salīdzināsim iegūto:
Nedaudz īpašs gadījums ir, ja grāda () bāze ir mazāka par vienu.
Ja, tad no diviem grādiem un lielāka ir tā, kuras indekss ir mazāks.
Mēģināsim pierādīt šo noteikumu. Ļaujiet būt.
Ieviesīsim kādu naturālu skaitli kā atšķirību starp un.
Loģiski, vai ne?
Un tagad vēlreiz pievērsīsim uzmanību nosacījumam - .
Attiecīgi:. Līdz ar to,.
Piemēram:
Kā jūs saprotat, mēs izskatījām gadījumu, kad pilnvaru pamati ir vienādi. Tagad redzēsim, kad bāze atrodas intervālā no līdz, bet eksponenti ir vienādi. Šeit viss ir ļoti vienkārši.
Atcerēsimies, kā to salīdzināt, izmantojot piemēru:
Protams, jūs ātri izdarījāt aprēķinu:
Tāpēc, saskaroties ar līdzīgām problēmām salīdzināšanai, paturiet prātā dažus vienkāršus līdzīgus piemērus, kurus varat ātri aprēķināt, un, pamatojoties uz šo piemēru, novietojiet zīmes sarežģītākā piemērā.
Veicot transformācijas, atceries, ja reizini, saskaiti, atņem vai dala, tad visas darbības jāveic gan ar kreiso, gan labo pusi (ja reizina ar, tad jāreizina abas).
Turklāt ir gadījumi, kad veikt jebkādas manipulācijas ir vienkārši neizdevīgi. Piemēram, jums ir jāsalīdzina. Šajā gadījumā nav tik grūti pacelt spēku un sakārtot zīmi, pamatojoties uz to:
Trenējamies. Salīdziniet grādus:
Vai esat gatavs salīdzināt atbildes? Lūk, ko es saņēmu:
- - Tāpat kā
- - Tāpat kā
- - Tāpat kā
- - Tāpat kā
3. Skaitļu salīdzināšana ar saknēm
Pirmkārt, atcerēsimies, kas ir saknes? Vai atceries šo ierakstu?
Reāla skaitļa pakāpes sakne ir skaitlis, uz kuru attiecas vienādība.
Saknes nepāra pakāpes pastāv negatīviem un pozitīviem skaitļiem, un pat saknes- tikai pozitīvajiem.
Saknes vērtība bieži vien ir bezgalīgs decimālskaitlis, kas apgrūtina precīzu aprēķinu, tāpēc ir svarīgi spēt salīdzināt saknes.
Ja esat aizmirsis, kas tas ir un ar ko to ēd - . Ja visu atceraties, iemācīsimies soli pa solim salīdzināt saknes.
Pieņemsim, ka mums ir jāsalīdzina:
Lai salīdzinātu šīs divas saknes, jums nav jāveic nekādi aprēķini, vienkārši analizējiet pašu “saknes” jēdzienu. Vai jūs saprotat, par ko es runāju? Jā, par to: pretējā gadījumā to var uzrakstīt kā kāda skaitļa trešo pakāpi, kas vienāda ar radikālo izteiksmi.
Kas vēl? vai? Protams, to var salīdzināt bez jebkādām grūtībām. Jo lielāku skaitli palielināsim līdz pakāpei, jo lielāka būs vērtība.
Tātad. Atvasināsim noteikumu.
Ja sakņu eksponenti ir vienādi (mūsu gadījumā tas ir), tad ir jāsalīdzina radikāļu izteiksmes (un) - jo lielāks ir radikāļu skaitlis, jo lielāka ir saknes vērtība ar vienādiem eksponentiem.
Grūti atcerēties? Tad vienkārši paturi piemēru savā galvā un... Tas vairāk?
Sakņu eksponenti ir vienādi, jo sakne ir kvadrātveida. Viena skaitļa () radikālā izteiksme ir lielāka nekā cita (), kas nozīmē, ka noteikums patiešām ir patiess.
Ko darīt, ja radikālās izteiksmes ir vienādas, bet sakņu pakāpes atšķiras? Piemēram: .
Ir arī pilnīgi skaidrs, ka, izraujot lielākas pakāpes sakni, tiks iegūts mazāks skaitlis. Ņemsim, piemēram:
Apzīmēsim pirmās saknes vērtību kā, bet otrās - kā, tad:
Jūs varat viegli redzēt, ka šajos vienādojumos ir jābūt vairāk, tāpēc:
Ja radikālās izteiksmes ir vienādas(mūsu gadījumā), un sakņu eksponenti ir dažādi(mūsu gadījumā tas ir un), tad ir jāsalīdzina eksponenti(Un) - jo augstāks rādītājs, jo mazāka šī izteiksme.
Mēģiniet salīdzināt šādas saknes:
Salīdzināsim rezultātus?
Mēs to veiksmīgi nokārtojām :). Rodas vēl viens jautājums: ja nu mēs visi esam atšķirīgi? Gan pakāpe, gan radikāla izpausme? Ne viss ir tik sarežģīti, vajag tikai... “atbrīvoties” no saknes. Jā jā. Vienkārši atbrīvojieties no tā)
Ja mums ir dažādas pakāpes un radikālas izteiksmes, sakņu eksponentiem jāatrod mazākais kopīgais daudzkārtnis (lasiet sadaļu par to) un abas izteiksmes jāpaaugstina līdz pakāpei, kas vienāda ar mazāko kopējo daudzkārtni.
Ka mēs visi esam vārdos un vārdos. Šeit ir piemērs:
- Mēs skatāmies uz sakņu rādītājiem - un. To mazākais kopīgais daudzkārtnis ir .
- Paaugstināsim abus izteiksmes pakāpē:
- Pārveidosim izteiksmi un atveram iekavas (sīkāka informācija nodaļā):
- Saskaitīsim paveikto un uzliksim zīmi:
4. Logaritmu salīdzinājums
Tātad, lēnām, bet noteikti, mēs nonācām pie jautājuma par logaritmu salīdzināšanu. Ja neatceraties, kāda veida dzīvnieks tas ir, iesaku vispirms izlasīt teoriju no sadaļas. Vai esi izlasījis? Pēc tam atbildiet uz dažiem svarīgiem jautājumiem:
- Kāds ir logaritma arguments un kāda ir tā bāze?
- Kas nosaka, vai funkcija palielinās vai samazinās?
Ja visu atceraties un esat to lieliski apguvis, sāksim!
Lai salīdzinātu logaritmus savā starpā, jums jāzina tikai 3 paņēmieni:
- samazināšana līdz tādam pašam pamatam;
- samazinājums uz to pašu argumentu;
- salīdzinājums ar trešo numuru.
Sākumā pievērsiet uzmanību logaritma bāzei. Vai atceraties, ja tas ir mazāks, tad funkcija samazinās, un, ja ir vairāk, tad tā palielinās. Uz to balstīsies mūsu spriedumi.
Apskatīsim logaritmu salīdzinājumu, kas jau ir samazināti līdz tādai pašai bāzei vai argumentam.
Sākumā vienkāršosim uzdevumu: ievadiet salīdzinātos logaritmus vienādi pamatojumi. Pēc tam:
- Funkcija for palielinās intervālā no, kas pēc definīcijas nozīmē tad (“tiešs salīdzinājums”).
- Piemērs:- pamatojums ir vienāds, attiecīgi salīdzinām argumentus: , tāpēc:
- Funkcija pie samazinās intervālā no, kas pēc definīcijas nozīmē tad (“apgrieztā salīdzināšana”). - bāzes ir vienādas, attiecīgi salīdzinām argumentus: tomēr logaritmu zīme būs “apgriezta”, jo funkcija samazinās: .
Tagad apsveriet gadījumus, kad iemesli ir atšķirīgi, bet argumenti ir vienādi.
- Pamatne ir lielāka.
- . Šajā gadījumā mēs izmantojam “apgriezto salīdzināšanu”. Piemēram: - argumenti ir vienādi, un. Salīdzināsim bāzes: tomēr logaritmu zīme būs “apgriezta”:
- Pamatne a atrodas spraugā.
- . Šajā gadījumā mēs izmantojam “tiešo salīdzinājumu”. Piemēram:
- . Šajā gadījumā mēs izmantojam “apgriezto salīdzināšanu”. Piemēram:
Pierakstīsim visu vispārīgā tabulas veidā:
| , kurā | , kurā | |
Attiecīgi, kā jau sapratāt, salīdzinot logaritmus, mums ir jānoved pie vienas bāzes jeb argumenta.. Mēs nonākam pie vienas bāzes, izmantojot formulu pārejai no vienas bāzes uz otru.
Varat arī salīdzināt logaritmus ar trešo skaitli un, pamatojoties uz to, izdarīt secinājumu par to, kas ir mazāk un kas ir vairāk. Piemēram, padomājiet par to, kā salīdzināt šos divus logaritmus?
Neliels mājiens - salīdzinājumam jums ļoti palīdzēs logaritms, kura arguments būs līdzvērtīgs.
Domāja? Izlemsim kopā.
Mēs varam viegli salīdzināt šos divus logaritmus ar jums:
Nezinu kā? Skatīt iepriekš. Mēs tikko to nokārtojām. Kāda zīme būs? Pa labi:
Piekrītu?
Salīdzināsim viens ar otru:
Jums vajadzētu iegūt sekojošo:
Tagad apvienojiet visus mūsu secinājumus vienā. Vai notika?
5. Trigonometrisko izteiksmju salīdzinājums.
Kas ir sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss? Kāpēc mums ir vajadzīgs vienību aplis un kā uz tā atrast trigonometrisko funkciju vērtību? Ja nezināt atbildes uz šiem jautājumiem, ļoti iesaku izlasīt teoriju par šo tēmu. Un, ja jūs zināt, tad salīdzināt trigonometriskās izteiksmes savā starpā jums nav grūti!
Nedaudz atsvaidzināsim atmiņu. Uzzīmēsim vienības trigonometrisko apli un tajā ierakstītu trīsstūri. Vai jums izdevās? Tagad atzīmējiet, kurā pusē mēs attēlojam kosinusu un kurā pusē sinusu, izmantojot trijstūra malas. (jūs, protams, atceraties, ka sinuss ir pretējās puses attiecība pret hipotenūzu, bet kosinuss ir blakus esošā puse?). Vai jūs to uzzīmējāt? Lieliski! Pēdējais pieskāriens ir nolikt, kur mums tas būs, kur un tā tālāk. Vai tu to noliku? Phew) Salīdzināsim to, kas notika ar tevi un mani.
Fu! Tagad sāksim salīdzināšanu!
Pieņemsim, ka jāsalīdzina un. Uzzīmējiet šos leņķus, izmantojot uzvednes lodziņos (kur esam atzīmējuši), novietojot punktus uz vienības apļa. Vai jums izdevās? Lūk, ko es saņēmu.
Tagad nometīsim perpendikulu no punktiem, kurus atzīmējām uz apļa uz asi... Kuru? Kura ass parāda sinusa vērtību? Pa labi, . Tas ir tas, ko jums vajadzētu iegūt:
Skatoties uz šo attēlu, kurš ir lielāks: vai? Protams, jo punkts ir virs punkta.
Līdzīgā veidā mēs salīdzinām kosinusu vērtību. Mēs nolaižam tikai perpendikulu pret asi... Tieši tā, . Attiecīgi mēs skatāmies, kurš punkts ir pa labi (vai augstāks, kā sinusu gadījumā), tad vērtība ir lielāka.
Jūs droši vien jau zināt, kā salīdzināt pieskares, vai ne? Viss, kas jums jāzina, ir tas, kas ir tangenss. Tātad, kas ir tangenss?) Tieši tā, sinusa un kosinusa attiecība.
Lai salīdzinātu pieskares, mēs zīmējam leņķi tāpat kā iepriekšējā gadījumā. Pieņemsim, ka mums ir jāsalīdzina:
Vai jūs to uzzīmējāt? Tagad mēs atzīmējam arī sinusa vērtības uz koordinātu ass. Vai pamanījāt? Tagad uz koordinātu līnijas norādiet kosinusa vērtības. Vai notika? Salīdzināsim:
Tagad analizējiet to, ko uzrakstījāt. - mēs sadalām lielu segmentu mazā. Atbildē būs vērtība, kas noteikti ir lielāka par vienu. Pa labi?
Un kad sadalām mazo ar lielo. Atbilde būs skaitlis, kas ir tieši mazāks par vienu.
Tātad, kurai trigonometriskajai izteiksmei ir lielāka vērtība?
Pa labi:
Kā jūs tagad saprotat, kotangenšu salīdzināšana ir viena un tā pati lieta, tikai otrādi: mēs skatāmies, kā segmenti, kas nosaka kosinusu un sinusu, ir saistīti viens ar otru.
Mēģiniet pats salīdzināt šādas trigonometriskās izteiksmes:
Piemēri.
Atbildes.
SKAITĻU SALĪDZINĀJUMS. VIDĒJAIS LĪMENIS.
Kurš skaitlis ir lielāks: vai? Atbilde ir acīmredzama. Un tagad: vai? Vairs nav tik acīmredzami, vai ne? Tātad: vai?
Bieži vien jums jāzina, kura skaitliskā izteiksme ir lielāka. Piemēram, lai, risinot nevienādību, novietotu punktus uz ass pareizā secībā.
Tagad es jums iemācīšu salīdzināt šādus skaitļus.
Ja jums ir jāsalīdzina skaitļi un, starp tiem ievietojam zīmi (atvasināta no latīņu vārda Versus vai saīsināti pret - pret): . Šī zīme aizstāj nezināmo nevienlīdzības zīmi (). Tālāk veiksim identiskas transformācijas, līdz kļūs skaidrs, kura zīme jāievieto starp cipariem.
Skaitļu salīdzināšanas būtība ir šāda: mēs pret zīmi attiecamies tā, it kā tā būtu kāda veida nevienlīdzības zīme. Un ar izteiksmi mēs varam darīt visu, ko mēs parasti darām ar nevienlīdzību:
- pievienojiet jebkuru skaitli abām pusēm (un, protams, mēs varam arī atņemt)
- “pārvietot visu uz vienu pusi”, tas ir, no abām daļām atņemiet vienu no salīdzinātajām izteiksmēm. Atņemtās izteiksmes vietā paliks: .
- reizināt vai dalīt ar to pašu skaitli. Ja šis skaitlis ir negatīvs, nevienlīdzības zīme tiek apgriezta: .
- paceliet abas puses uz vienu spēku. Ja šī jauda ir vienmērīga, jums jāpārliecinās, ka abām daļām ir vienāda zīme; ja abas daļas ir pozitīvas, zīme nemainās, paceļot pakāpē, bet, ja tās ir negatīvas, tad mainās uz pretējo.
- no abām daļām izvelciet tādas pašas pakāpes sakni. Ja mēs iegūstam pāra pakāpes sakni, vispirms ir jāpārliecinās, ka abas izteiksmes nav negatīvas.
- jebkuras citas līdzvērtīgas pārvērtības.
Svarīgi: pārveidojumus vēlams veikt tā, lai nevienlīdzības zīme nemainītos! Tas ir, transformāciju laikā nav vēlams reizināt ar negatīvu skaitli, un jūs nevarat to kvadrātā, ja viena no daļām ir negatīva.
Apskatīsim dažas tipiskas situācijas.
1. Paaugstināšana.
Piemērs.
Kas ir vairāk: vai?
Risinājums.
Tā kā abas nevienlīdzības puses ir pozitīvas, mēs varam to kvadrātā, lai atbrīvotos no saknes:
Piemērs.
Kas ir vairāk: vai?
Risinājums.
Šeit mēs varam arī to kvadrātā, bet tas tikai palīdzēs mums atbrīvoties no kvadrātsaknes. Šeit tas ir jāpaaugstina līdz tādai pakāpei, lai abas saknes izzustu. Tas nozīmē, ka šīs pakāpes eksponentam ir jādalās gan ar (pirmās saknes pakāpe), gan ar. Tāpēc šis skaitlis tiek palielināts līdz pakāpei:
2. Reizināšana ar tā konjugātu.
Piemērs.
Kas ir vairāk: vai?
Risinājums.
Reizināsim un dalīsim katru starpību ar konjugēto summu:
Acīmredzot saucējs labajā pusē ir lielāks nekā saucējs kreisajā pusē. Tāpēc labā frakcija ir mazāka par kreiso:
3. Atņemšana
Atcerēsimies to.
Piemērs.
Kas ir vairāk: vai?
Risinājums.
Protams, mēs varētu visu sadalīt kvadrātā, pārgrupēt un vēlreiz kvadrātā. Bet jūs varat darīt kaut ko gudrāku:
Var redzēt, ka kreisajā pusē katrs termins ir mazāks nekā katrs vārds labajā pusē.
Attiecīgi visu terminu summa kreisajā pusē ir mazāka nekā visu labās puses terminu summa.
Bet esi piesardzīgs! Mums jautāja, kas vēl...
Labā puse ir lielāka.
Piemērs.
Salīdziniet skaitļus un...
Risinājums.
Atcerēsimies trigonometrijas formulas:
Pārbaudīsim, kurās trigonometriskā apļa ceturtdaļās atrodas punkti un meli.
4. Sadalījums.
Šeit mēs izmantojam arī vienkāršu noteikumu: .
Pie vai, tas ir.
Kad zīme mainās: .
Piemērs.
Salīdzināt: .
Risinājums.
5. Salīdziniet skaitļus ar trešo skaitli
Ja un, tad (transitivitātes likums).
Piemērs.
Salīdzināt.
Risinājums.
Salīdzināsim skaitļus nevis savā starpā, bet ar skaitli.
Ir skaidrs, ka.
Citā pusē, .
Piemērs.
Kas ir vairāk: vai?
Risinājums.
Abi skaitļi ir lielāki, bet mazāki. Atlasīsim tādu skaitli, lai tas būtu lielāks par vienu, bet mazāks par otru. Piemēram, . Pārbaudīsim:
6. Ko darīt ar logaritmiem?
Nekas īpašs. Kā atbrīvoties no logaritmiem, ir detalizēti aprakstīts tēmā. Pamatnoteikumi ir:
\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \bultiņa pa kreisi (\rm( ))\left[ (\begin(masīvs)(*(20)(l))(x \vee (a^) b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \ķīlis (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \ķīlis y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]
Mēs varam arī pievienot noteikumu par logaritmiem ar dažādām bāzēm un vienu un to pašu argumentu:
To var izskaidrot šādi: jo lielāka ir bāze, jo mazāka pakāpe būs jāpaaugstina, lai iegūtu vienu un to pašu. Ja bāze ir mazāka, tad ir otrādi, jo atbilstošā funkcija monotoni samazinās.
Piemērs.
Salīdziniet skaitļus: un.
Risinājums.
Saskaņā ar iepriekš minētajiem noteikumiem:
Un tagad formula progresīviem.
Logaritmu salīdzināšanas noteikumu var uzrakstīt īsāk:
Piemērs.
Kas ir vairāk: vai?
Risinājums.
Piemērs.
Salīdziniet, kurš skaitlis ir lielāks: .
Risinājums.
SKAITĻU SALĪDZINĀJUMS. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM
1. Paaugstināšana
Ja abas nevienlīdzības puses ir pozitīvas, tās var sadalīt kvadrātā, lai atbrīvotos no saknes
2. Reizināšana ar tā konjugātu
Konjugāts ir faktors, kas papildina kvadrātu atšķirības formulas izteiksmi: - konjugāts par un otrādi, jo .
3. Atņemšana
4. Sadalījums
Kad vai tas ir
Kad zīme mainās:
5. Salīdzinājums ar trešo numuru
Ja un tad
6. Logaritmu salīdzinājums
Pamatnoteikumi:
Logaritmi ar dažādām bāzēm un vienu un to pašu argumentu:
Nu tēma beigusies. Ja jūs lasāt šīs rindas, tas nozīmē, ka esat ļoti foršs.
Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un, ja izlasi līdz galam, tad esi šajos 5%!
Tagad pats svarīgākais.
Jūs esat sapratis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, šis... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.
Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...
Par ko?
Par sekmīgu vienotā valsts eksāmena nokārtošanu, stāšanos koledžā ar budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.
Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...
Cilvēki, kuri ir ieguvuši labu izglītību, nopelna daudz vairāk nekā tie, kas to nav saņēmuši. Tā ir statistika.
Bet tas nav galvenais.
Galvenais, ka viņi ir LAIMĪGĀKI (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...
Bet padomājiet paši...
Kas nepieciešams, lai vienotajā valsts eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?
IEGŪT SAVU ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.
Eksāmena laikā jums netiks prasīta teorija.
Jums būs nepieciešams risināt problēmas pret laiku.
Un, ja jūs tos neesat atrisinājis (DAUDZ!), jūs noteikti kaut kur kļūdīsities vai vienkārši nebūs laika.
Tas ir kā sportā – tas ir jāatkārto daudzas reizes, lai uzvarētu droši.
Atrodiet kolekciju, kur vien vēlaties, obligāti ar risinājumiem, detalizētu analīzi un izlem, izlem, lem!
Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (pēc izvēles), un mēs, protams, tos iesakām.
Lai labāk izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.
Kā? Ir divas iespējas:
- Atbloķējiet visus slēptos uzdevumus šajā rakstā -
- Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 mācību grāmatas rakstos - Pērciet mācību grāmatu - 899 RUR
Jā, mūsu mācību grāmatā ir 99 šādi raksti, un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.
Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta VISU vietnes darbības laiku.
Noslēgumā...
Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties pie teorijas.
“Sapratu” un “Es varu atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.
Atrodi problēmas un atrisini tās!
PERVUŠKINS BORIS NIKOLAJEVIČS
Privātā izglītības iestāde "Sanktpēterburgas skola "Tete-a-Tete"
Augstākās kategorijas matemātikas skolotājs
Skaitļu salīdzināšana modulo
Definīcija 1. Ja divi cipari1 ) aUnbkad dala arlppdod to pašu atlikumur, tad šādus skaitļus sauc par equiremainder vaisalīdzināms pēc moduļa lpp.
Paziņojums, apgalvojums 1. Ļaujietlppkāds pozitīvs skaitlis. Tad katrs ciparsavienmēr un turklāt vienīgajā veidā var attēlot formā
| a=sp+r, | (1) |
Kurs- numurs unrviens no skaitļiem 0,1, ...,lpp−1.
1 ) Šajā rakstā vārds skaitlis tiks saprasts kā vesels skaitlis.
Tiešām. Jassaņems vērtību no −∞ līdz +∞, tad skaitļusspapzīmē visu to skaitļu kopumu, kuri ir reizinātilpp. Apskatīsim skaitļus starpspUn (s+1) p=sp+p. Jolppir pozitīvs vesels skaitlis, tad starpspUnsp+pir cipari
Bet šos skaitļus var iegūt, iestatotrvienāds ar 0, 1, 2,...,lpp−1. Līdz ar tosp+r=aiegūs visas iespējamās veselo skaitļu vērtības.
Parādīsim, ka šis attēlojums ir unikāls. Izliksimies tālppvar attēlot divos veidosa=sp+rUna=s1 lpp+ r1 . Tad
vai
| (2) |
Jor1 pieņem vienu no skaitļiem 0,1, ...,lpp−1, tad absolūtā vērtībar1 − rmazāklpp. Bet no (2) izriet, kar1 − rvairākaslpp. Līdz ar tor1 = rUns1 = s.
Numursrsaucamīnus cipariemamodulolpp(citiem vārdiem sakot, numursrsauca skaitļa atlikušo daļuaieslēgtslpp).
Paziņojums, apgalvojums 2. Ja divi cipariaUnbsalīdzināms pēc moduļalpp, Tasa-bdalīts arlpp.
Tiešām. Ja divi cipariaUnbsalīdzināms pēc moduļalpp, tad dalot arlppir tāds pats atlikumslpp. Tad
KursUns1 daži veseli skaitļi.
Šo skaitļu atšķirība
| (3) |
dalīts arlpp, jo vienādojuma (3) labā puse tiek dalīta arlpp.
Paziņojums, apgalvojums 3. Ja divu skaitļu starpība dalās arlpp, tad šie skaitļi ir salīdzināmi pēc moduļalpp.
Pierādījums. Apzīmēsim arrUnr1 sadalīšanas atlikumiaUnbieslēgtslpp. Tad
kur
Saskaņā ara-bdalīts arlpp. Līdz ar tor− r1 dalās arī arlpp. Bet tāpēc,rUnr1 skaitļi 0,1,...,lpp−1, tad absolūtā vērtība |r− r1 |< lpp. Tad, lair− r1 dalīts arlppnosacījums ir jāizpildar= r1 .
No apgalvojuma izriet, ka salīdzināmie skaitļi ir tie skaitļi, kuru starpība dalās ar moduli.
Ja jums ir nepieciešams pierakstīt šos skaitļusaUnbsalīdzināms pēc moduļalpp, tad mēs izmantojam apzīmējumu (ieviesa Gauss):
| a≡bmod(lpp) |
Piemēri 25≡39 (7. mod.), –18≡14. (4. mod.).
No pirmā piemēra izriet, ka 25, dalot ar 7, iegūst tādu pašu atlikumu kā 39. Patiešām, 25 = 3·7+4 (atlikušais 4). 39=3·7+4 (atlikušais 4). Apsverot otro piemēru, jāņem vērā, ka atlikumam ir jābūt nenegatīvam skaitlim, kas ir mazāks par moduli (t.i., 4). Tad varam rakstīt: −18=−5·4+2 (atlikušais 2), 14=3·4+2 (atlikušais 2). Tāpēc −18, dalot ar 4, paliek 2, un 14, dalītu ar 4, paliek 2.
Moduļu salīdzināšanas īpašības
Īpašums 1. JebkuramaUnlppVienmēr
| a≡amod(lpp). |
Īpašums 2. Ja divi cipariaUncsalīdzināms ar skaitlibmodulolpp, TasaUncsalīdzināmi viens ar otru saskaņā ar vienu un to pašu moduli, t.i. Ja
| a≡bmod(lpp), b≡cmod(lpp). |
Tas
| a≡cmod(lpp). |
Tiešām. No 2. īpašuma stāvokļa izrieta-bUnb–ctiek sadalītilpp. Tad viņu summaa-b+(b-c)=a-csadalīts arīlpp.
Īpašums 3. Ja
| a≡bmod(lpp) Unm≡nmod(lpp), |
Tas
| a+m≡b+nmod(lpp) Una−m≡b−nmod(lpp). |
Tiešām. Joa-bUnm−ntiek sadalītilpp, Tas
| ( a-b)+ ( m−n)=( a+m)−( b+n) , |
| ( a-b)−( m−n)=( a−m)−( b−n) |
sadalīts arīlpp.
Šo īpašību var attiecināt uz jebkuru skaitu salīdzinājumu, kuriem ir vienāds modulis.
Īpašums 4. Ja
| a≡bmod(lpp) Unm≡nmod(lpp), |
Tas
Tālākm−ndalīts arlpp, tātadb(m−n)=bm−bnsadalīts arīlpp, Līdzekļi
| bm≡ miljardimod(lpp). |
Tātad divi skaitļiamUnmiljardusmodulis ir salīdzināms ar to pašu skaitlibm, tāpēc tie ir salīdzināmi viens ar otru (īpašums 2).
Īpašums 5. Ja
| a≡bmod(lpp). |
Tas
| ak≡bkmod(lpp). |
Kurkkāds nenegatīvs vesels skaitlis.
Tiešām. Mums ira≡bmod(lpp). No 4. īpašuma izriet
| ................. |
| ak≡bkmod(lpp). |
Norādiet visus rekvizītus 1–5 šādā paziņojumā:
Paziņojums, apgalvojums 4. Ļaujietf( x1 , x2 , x3 , ...) ir vesela racionāla funkcija ar veselu skaitļu koeficientiem un let
| a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 , a3 ≡ b3 , ... mod (lpp). |
Tad
| f( a1 , a2 , a3 , ...)≡ f( b1 , b2 , b3 , ...) mod (lpp). |
Ar sadalīšanu viss ir savādāk. No salīdzināšanas
Paziņojums, apgalvojums 5. Ļaujiet
Kurλ Šislielākais kopīgais dalītājscipariemmUnlpp.
Pierādījums. Ļaujietλ lielākais kopējais skaitļu dalītājsmUnlpp. Tad
Jom(a-b)dalīts ark, Tas
ir nulle atlikums, t.i.m1 ( a-b) dalīts ark1 . Bet skaitļim1 Unk1 skaitļi ir salīdzinoši pirmskaitļi. Līdz ar toa-bdalīts ark1 = k/λun tad,p,q,s.
Tiešām. Atšķirībaa≡bjābūt reizinājumamp,q,s.un tāpēc tam jābūt daudzkārtējamh.
Īpašā gadījumā, ja moduļip,q,stad pirmskaitļi
| a≡bmod(h), |
Kurh=pqs.
Ņemiet vērā, ka mēs varam atļaut salīdzinājumus, pamatojoties uz negatīviem moduļiem, t.i. salīdzinājumsa≡bmod(lpp) šajā gadījumā nozīmē, ka atšķirībaa-bdalīts arlpp. Visas salīdzināšanas īpašības paliek spēkā negatīvajiem moduļiem.
Diviem veseliem skaitļiem X Un plkst Ieviesīsim salīdzināmības attiecību pēc paritātes, ja to atšķirība ir pāra skaitlis. Ir viegli pārbaudīt, vai ir izpildīti visi trīs iepriekš ieviestie ekvivalences nosacījumi. Šādā veidā ieviestā ekvivalences attiecība sadala visu veselo skaitļu kopu divās nesaistītās apakškopās: pāra skaitļu apakškopā un nepāra skaitļu apakškopā.
Vispārinot šo gadījumu, mēs teiksim, ka divi veseli skaitļi, kas atšķiras ar kāda fiksēta naturālā skaitļa daudzkārtni, ir līdzvērtīgi. Tas ir pamats moduļu salīdzināmības koncepcijai, ko ieviesa Gauss.
Numurs A, salīdzināms ar b modulo m, ja to starpība dalās ar fiksētu naturālu skaitli m, tas ir a - b dalīts ar m. Simboliski tas ir rakstīts šādi:
a ≡ b(mod m),
un tas skan šādi: A salīdzināms ar b modulo m.
Šādā veidā ieviestā sakarība, pateicoties dziļai analoģijai starp salīdzinājumiem un vienādībām, vienkāršo aprēķinus, kuros skaitļi atšķiras ar reizinājumu m, faktiski neatšķiras (jo salīdzināšana ir vienādība līdz dažiem m daudzkārtņiem).
Piemēram, skaitļi 7 un 19 ir salīdzināmi modulo 4, bet nav salīdzināmi modulo 5, jo 19-7=12 dalās ar 4 un nedalās ar 5.
Var arī teikt, ka numurs X modulo m vienāds ar atlikumu, dalot ar veselu skaitli X ieslēgts m, jo
x=km+r, r = 0, 1, 2, ... , m-1.
Ir viegli pārbaudīt, vai skaitļu salīdzināmībai saskaņā ar doto moduli ir visas ekvivalences īpašības. Tāpēc veselo skaitļu kopa ir sadalīta skaitļu klasēs, kas ir salīdzināmas pēc moduļa m. Šādu klašu skaits ir vienāds m, un visi vienas klases skaitļi, dalīti ar m dod to pašu atlikumu. Piemēram, ja m= 3, tad iegūstam trīs klases: skaitļu klasi, kas ir 3 reizinātāji (dodot atlikumu 0, ja dala ar 3), skaitļu klasi, kas atstāj atlikumu 1, dalot ar 3, un skaitļu klasi, kas atstāj atlikums 2, dalīts ar 3.
Salīdzinājumu izmantošanas piemērus sniedz labi zināmie dalāmības kritēriji. Kopējais skaitļu attēlojums n cipariem decimālo skaitļu sistēmā ir šāda forma:
n = c10 2 + b10 1 + a10 0,
Kur a, b, c,- skaitļa cipari, kas rakstīti no labās uz kreiso pusi, tātad A- vienību skaits, b- desmitnieku skaits utt. Kopš 10k ≡ 1(mod9) jebkuram k≥0, tad no rakstītā izriet, ka
n ≡ c + b + a(mod9),
no kurienes seko dalāmības ar 9 tests: n dalās ar 9 tad un tikai tad, ja tā ciparu summa dalās ar 9. Šis arguments attiecas arī uz 9 aizvietošanu ar 3.
Mēs iegūstam testu dalīšanai ar 11. Salīdzinājumi notiek:
10≡- 1 (mod11), 10 2 ≡ 1 (mod11) 10 3 ≡- 1 (mod11) un tā tālāk. Tāpēc n ≡ c - b + a - ….(mod11).
Tāpēc n dalās ar 11 tad un tikai tad, ja tā mainīgā ciparu summa a - b + c -... dalās ar 11.
Piemēram, skaitļa 9581 mainīgā ciparu summa ir 1 - 8 + 5 - 9 = -11, tā dalās ar 11, kas nozīmē, ka skaitlis 9581 dalās ar 11.
Ja ir salīdzinājumi: , tad tos var saskaitīt, atņemt un reizināt ar terminu tāpat kā vienādības:
Salīdzinājumu vienmēr var reizināt ar veselu skaitli:
ja tad
Tomēr ne vienmēr ir iespējams samazināt salīdzinājumu ar jebkuru koeficientu, piemēram, bet nav iespējams to samazināt par kopējo koeficientu 6 skaitļiem 42 un 12; šāds samazinājums noved pie nepareiza rezultāta, jo .
No salīdzināmības modulo definīcijas izriet, ka samazinājums par koeficientu ir pieļaujams, ja šis faktors ir vienāds ar moduli.
Iepriekš jau tika atzīmēts, ka jebkurš vesels skaitlis ir salīdzināms mod m ar vienu no šādiem skaitļiem: 0, 1, 2,... , m-1.
Papildus šai sērijai ir arī citas skaitļu sērijas, kurām ir tāds pats īpašums; tā, piemēram, jebkurš skaitlis ir salīdzināms mod 5 ar vienu no šiem skaitļiem: 0, 1, 2, 3, 4, bet arī salīdzināms ar kādu no šiem skaitļiem: 0, -4, -3, -2, - 1 vai 0, 1, -1, 2, -2. Jebkuru šādu skaitļu sēriju sauc par pilnīgu atlikumu sistēmu modulo 5.
Tādējādi pilnīga atlieku sistēma mod m jebkura sērija m skaitļi, no kuriem divi nav salīdzināmi. Parasti tiek izmantota pilnīga atskaitījumu sistēma, kas sastāv no skaitļiem: 0, 1, 2, ..., m-1. Skaitļa atņemšana n modulo m ir divīzijas atlikums n ieslēgts m, kas izriet no attēlojuma n = km + r, 0<r<m- 1.
Mēs turpinām pētīt racionālos skaitļus. Šajā nodarbībā mēs uzzināsim, kā tos salīdzināt.
No iepriekšējām nodarbībām mēs uzzinājām, ka jo tālāk pa labi skaitlis atrodas uz koordinātu līnijas, jo lielāks tas ir. Un attiecīgi, jo tālāk pa kreisi skaitlis atrodas uz koordinātu līnijas, jo mazāks tas ir.
Piemēram, ja salīdzina skaitļus 4 un 1, uzreiz var atbildēt, ka 4 ir vairāk par 1. Tas ir pilnīgi loģisks apgalvojums un visi tam piekritīs.
Kā pierādījumu mēs varam minēt koordinātu līniju. Tas parāda, ka četri atrodas pa labi no viena
Šajā gadījumā ir arī noteikums, ko var izmantot, ja vēlas. Tas izskatās šādi:
No diviem pozitīviem skaitļiem skaitlis, kura modulis ir lielāks, ir lielāks.
Lai atbildētu uz jautājumu, kurš skaitlis ir lielāks un kurš mazāks, vispirms jāatrod šo skaitļu moduļi, jāsalīdzina šie moduļi un pēc tam jāatbild uz jautājumu.
Piemēram, salīdziniet tos pašus skaitļus 4 un 1, piemērojot iepriekš minēto noteikumu
Skaitļu moduļu atrašana:
|4| = 4
|1| = 1
Salīdzināsim atrastos moduļus:
4 > 1
Mēs atbildam uz jautājumu:
4 > 1
Negatīviem skaitļiem ir vēl viens noteikums, tas izskatās šādi:
No diviem negatīviem skaitļiem skaitlis, kura modulis ir mazāks, ir lielāks.
Piemēram, salīdziniet skaitļus –3 un –1
Skaitļu moduļu atrašana
|−3| = 3
|−1| = 1
Salīdzināsim atrastos moduļus:
3 > 1
Mēs atbildam uz jautājumu:
−3 < −1
Skaitļa moduli nevajadzētu jaukt ar pašu skaitli. Izplatīta kļūda, ko pieļauj daudzi iesācēji. Piemēram, ja modulis −3 ir lielāks par −1 moduli, tas nenozīmē, ka −3 ir lielāks par −1.
Skaitlis −3 ir mazāks par skaitli −1. To var saprast, ja izmantojam koordinātu līniju
Var redzēt, ka skaitlis −3 atrodas tālāk pa kreisi nekā −1. Un mēs zinām, jo tālāk pa kreisi, jo mazāk.
Ja salīdzināsit negatīvu skaitli ar pozitīvu, atbilde pati par sevi parādīs. Jebkurš negatīvs skaitlis būs mazāks par jebkuru pozitīvu skaitli. Piemēram, −4 ir mazāks par 2
Var redzēt, ka −4 atrodas tālāk pa kreisi nekā 2. Un mēs zinām, ka “jo tālāk pa kreisi, jo mazāk”.
Šeit, pirmkārt, ir jāaplūko skaitļu zīmes. Mīnusa zīme skaitļa priekšā norāda, ka skaitlis ir negatīvs. Ja trūkst skaitļa zīmes, tad skaitlis ir pozitīvs, taču skaidrības labad varat to pierakstīt. Atcerieties, ka šī ir plusa zīme
Kā piemēru apskatījām veselus skaitļus formā −4, −3 −1, 2. Salīdzināt šādus skaitļus, kā arī attēlot tos uz koordinātu līnijas nav grūti.
Ir daudz grūtāk salīdzināt cita veida skaitļus, piemēram, daļskaitļus, jauktus skaitļus un decimāldaļas, no kurām dažas ir negatīvas. Šeit būtībā būs jāpiemēro noteikumi, jo ne vienmēr ir iespējams precīzi attēlot šādus skaitļus uz koordinātu līnijas. Dažos gadījumos būs nepieciešams skaitlis, lai būtu vieglāk salīdzināt un saprast.
1. piemērs. Salīdziniet racionālos skaitļus
Tātad, jums ir jāsalīdzina negatīvs skaitlis ar pozitīvu. Jebkurš negatīvs skaitlis ir mazāks par jebkuru pozitīvu skaitli. Tāpēc, netērējot laiku, mēs atbildam, ka tas ir mazāks par
2. piemērs.
Jums ir jāsalīdzina divi negatīvi skaitļi. No diviem negatīviem skaitļiem tas, kura lielums ir mazāks, ir lielāks.
Skaitļu moduļu atrašana:
Salīdzināsim atrastos moduļus:
3. piemērs. Salīdziniet skaitļus 2.34 un
Jums ir jāsalīdzina pozitīvs skaitlis ar negatīvu. Jebkurš pozitīvs skaitlis ir lielāks par jebkuru negatīvu skaitli. Tāpēc, netērējot laiku, mēs atbildam, ka 2,34 ir vairāk nekā
4. piemērs. Salīdziniet racionālos skaitļus un
Skaitļu moduļu atrašana:
Salīdzinām atrastos moduļus. Bet vispirms izveidosim tos skaidrā formā, lai būtu vieglāk salīdzināt, proti, mēs tos pārveidosim nepareizās daļskaitļos un apvienosim tos pie kopsaucēja
Saskaņā ar likumu no diviem negatīviem skaitļiem skaitlis, kura modulis ir mazāks, ir lielāks. Tas nozīmē, ka racionālais ir lielāks par , jo skaitļa modulis ir mazāks par skaitļa moduli
5. piemērs.
Jums ir jāsalīdzina nulle ar negatīvu skaitli. Nulle ir lielāka par jebkuru negatīvu skaitli, tāpēc, netērējot laiku, mēs atbildam, ka 0 ir lielāks par
6. piemērs. Salīdziniet racionālos skaitļus 0 un
Jums ir jāsalīdzina nulle ar pozitīvu skaitli. Nulle ir mazāka par jebkuru pozitīvu skaitli, tāpēc, netērējot laiku, mēs atbildam, ka 0 ir mazāks par
7. piemērs. Salīdziniet racionālos skaitļus 4,53 un 4,403
Jums ir jāsalīdzina divi pozitīvi skaitļi. No diviem pozitīviem skaitļiem skaitlis, kura modulis ir lielāks, ir lielāks.
Padarīsim vienādu ciparu skaitu aiz komata abās daļās. Lai to izdarītu, daļā 4,53 beigās pievienojam vienu nulli
Skaitļu moduļu atrašana
Salīdzināsim atrastos moduļus:
Saskaņā ar likumu no diviem pozitīviem skaitļiem skaitlis, kura absolūtā vērtība ir lielāka, ir lielāks. Tas nozīmē, ka racionālais skaitlis 4,53 ir lielāks par 4,403, jo modulis 4,53 ir lielāks par moduli 4,403
8. piemērs. Salīdziniet racionālos skaitļus un
Jums ir jāsalīdzina divi negatīvi skaitļi. No diviem negatīviem skaitļiem skaitlis, kura modulis ir mazāks, ir lielāks.
Skaitļu moduļu atrašana:
Salīdzinām atrastos moduļus. Bet vispirms izveidosim tos skaidrā formā, lai būtu vieglāk salīdzināt, proti, jaukto skaitli pārveidosim par nepareizu daļskaitli, pēc tam mēs apvienosim abas daļskaitļus līdz kopsaucējam:
Saskaņā ar likumu no diviem negatīviem skaitļiem skaitlis, kura modulis ir mazāks, ir lielāks. Tas nozīmē, ka racionālais ir lielāks par , jo skaitļa modulis ir mazāks par skaitļa moduli
Decimālskaitļu salīdzināšana ir daudz vienkāršāka nekā daļskaitļu un jauktu skaitļu salīdzināšana. Dažos gadījumos, aplūkojot visu šādas daļas daļu, jūs varat uzreiz atbildēt uz jautājumu, kura daļa ir lielāka un kura ir mazāka.
Lai to izdarītu, jums ir jāsalīdzina visu daļu moduļi. Tas ļaus ātri atbildēt uz uzdevumā uzdoto jautājumu. Galu galā, kā jūs zināt, veselām daļām decimāldaļās ir lielāks svars nekā daļdaļām.
9. piemērs. Salīdziniet racionālos skaitļus 15,4 un 2,1256
Visas frakcijas daļas modulis ir par 15,4 lielāks nekā visas frakcijas daļas modulis 2,1256
tāpēc daļa 15,4 ir lielāka par daļu 2,1256
15,4 > 2,1256
Citiem vārdiem sakot, mums nebija jātērē laiks, lai daļskaitlim 15,4 pievienotu nulles un salīdzinātu iegūtās daļskaitļus kā parastos skaitļus.
154000 > 21256
Salīdzināšanas noteikumi paliek nemainīgi. Mūsu gadījumā mēs salīdzinājām pozitīvus skaitļus.
10. piemērs. Salīdziniet racionālos skaitļus −15,2 un −0,152
Jums ir jāsalīdzina divi negatīvi skaitļi. No diviem negatīviem skaitļiem skaitlis, kura modulis ir mazāks, ir lielāks. Bet mēs salīdzināsim tikai veselu skaitļu daļu moduļus
Mēs redzam, ka visas frakcijas daļas modulis ir −15,2 lielāks nekā visas frakcijas daļas modulis −0,152.
Tas nozīmē, ka racionālais −0,152 ir lielāks par −15,2, jo skaitļa veselās skaitļa daļas modulis −0,152 ir mazāks par skaitļa −15,2 veselās skaitļa daļas moduli.
−0,152 > −15,2
11. piemērs. Salīdziniet racionālos skaitļus −3,4 un −3,7
Jums ir jāsalīdzina divi negatīvi skaitļi. No diviem negatīviem skaitļiem skaitlis, kura modulis ir mazāks, ir lielāks. Bet mēs salīdzināsim tikai veselu skaitļu daļu moduļus. Bet problēma ir tā, ka veselo skaitļu moduļi ir vienādi:
Šajā gadījumā jums būs jāizmanto vecā metode: atrodiet racionālo skaitļu moduļus un salīdziniet šos moduļus
Salīdzināsim atrastos moduļus:
Saskaņā ar likumu no diviem negatīviem skaitļiem skaitlis, kura modulis ir mazāks, ir lielāks. Tas nozīmē, ka racionālais −3.4 ir lielāks par −3.7, jo skaitļa −3.4 modulis ir mazāks par skaitļa −3.7 moduli.
−3,4 > −3,7
12. piemērs. Salīdziniet racionālos skaitļus 0,(3) un
Jums ir jāsalīdzina divi pozitīvi skaitļi. Turklāt salīdziniet periodisko daļu ar vienkāršu daļu.
Pārvērsim periodisko daļskaitli 0,(3) parastā daļskaitlī un salīdzināsim ar daļskaitli . Pēc periodiskās daļas 0,(3) pārvēršanas parastā daļskaitlī tā kļūst par daļu
Skaitļu moduļu atrašana:
Salīdzinām atrastos moduļus. Bet vispirms izveidosim tos saprotamā formā, lai būtu vieglāk salīdzināt, proti, savedīsim tos pie kopsaucēja: 
Saskaņā ar likumu no diviem pozitīviem skaitļiem skaitlis, kura absolūtā vērtība ir lielāka, ir lielāks. Tas nozīmē, ka racionālais skaitlis ir lielāks par 0, (3), jo skaitļa modulis ir lielāks par skaitļa 0, (3) moduli.
Vai jums patika nodarbība?
Pievienojieties mūsu jaunajai VKontakte grupai un sāciet saņemt paziņojumus par jaunām nodarbībām