Тодорхойлолт 1. Хэрэв хоёр тоо нь 1 бол) аТэгээд бхуваах үед хижил үлдэгдлийг өгнө r, тэгвэл ийм тоонуудыг equiremainder эсвэл гэж нэрлэдэг модулийн хувьд харьцуулж болно х.
Мэдэгдэл 1. Болъё хзарим эерэг тоо. Дараа нь тоо бүр аүргэлж, үүнээс гадна, цорын ганц арга замаар хэлбэрээр төлөөлж болно
Гэхдээ эдгээр тоог тохируулснаар авч болно rтэнцүү 0, 1, 2,..., х−1. Тиймээс sp+r=aбүх боломжит бүхэл утгыг авах болно.
Энэ төлөөлөл өвөрмөц гэдгийг харуулъя. Ингэж жүжиглэе ххоёр янзаар төлөөлж болно a=sp+rТэгээд a=s 1 х+r 1 . Дараа нь
 |
 | (2) |
Учир нь r 1 нь 0,1, ..., тоонуудын аль нэгийг хүлээн авна. х−1, дараа нь үнэмлэхүй утга r 1 −rбага х. Гэхдээ (2) -аас үүнийг дагаж мөрддөг r 1 −rолон х. Тиймээс r 1 =rТэгээд с 1 =с.
Тоо rдуудсан хасахтоо амодуль х(өөрөөр хэлбэл тоо rтооны үлдэгдэл гэж нэрлэдэг адээр х).
Мэдэгдэл 2. Хэрэв хоёр тоо бол аТэгээд бмодулийн хувьд харьцуулж болно х, Тэр a−bхуваасан х.
Үнэхээр. Хэрэв хоёр тоо бол аТэгээд бмодулийн хувьд харьцуулж болно х, дараа нь хуваах үед хижил үлдэгдэлтэй байна х. Дараа нь
хуваасан х, учир нь (3) тэгшитгэлийн баруун тал нь хуваагдана х.
Мэдэгдэл 3. Хэрэв хоёр тооны зөрүү нь хуваагддаг бол х, дараа нь эдгээр тоонуудыг модулийн хувьд харьцуулж болно х.
Баталгаа. -ээр тэмдэглэе rТэгээд r 1 хуваагдлын үлдэгдэл аТэгээд бдээр х. Дараа нь
 |
Жишээ 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).
Эхний жишээнээс харахад 25-ыг 7-д хуваахад 39-тэй ижил үлдэгдэл гарна. Үнэхээр 25 = 3·7+4 (үлдэгдэл 4). 39=3·7+4 (үлдэгдэл 4). Хоёрдахь жишээг авч үзэхдээ үлдэгдэл нь модулиас бага сөрөг бус тоо байх ёстойг анхаарах хэрэгтэй (жишээ нь 4). Дараа нь бид бичиж болно: −18=−5·4+2 (үлдэгдэл 2), 14=3·4+2 (үлдэгдэл 2). Тиймээс −18-ыг 4-т хуваахад 2-ын үлдэгдэл, 14-ийг 4-т хуваахад 2-ын үлдэгдэл үлдэнэ.
Модулийн харьцуулалтын шинж чанарууд
Өмч 1. Хэнд ч зориулав аТэгээд хҮргэлж
үргэлж харьцуулалт байдаггүй
Хаана λ тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч юм мТэгээд х.
Баталгаа. Болъё λ тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч мТэгээд х. Дараа нь
Учир нь m(a−b)хуваасан к, Тэр
Тэгшитгэл ба тэгш бус байдал, модультай холбоотой асуудлыг шийдэхдээ олсон үндсийг тоон шулуун дээр байрлуулах хэрэгтэй. Таны мэдэж байгаагаар олдсон үндэс нь өөр байж болно. Тэд дараах байдалтай байж болно: , эсвэл ийм байж болно: , .
Үүний дагуу хэрэв тоонууд нь оновчтой биш харин иррациональ (хэрэв та юу болохыг мартсан бол сэдвийг хараарай) эсвэл нарийн төвөгтэй математик илэрхийллүүд байвал тэдгээрийг тооны шулуун дээр байрлуулах нь маш их асуудалтай байдаг. Түүнээс гадна, та шалгалтын үеэр тооны машин ашиглах боломжгүй бөгөөд ойролцоо тооцоолол нь нэг тоо нөгөөгөөсөө бага гэсэн 100% баталгаа өгдөггүй (харьцуулж буй тоонуудын хооронд ялгаа байвал яах вэ?).
Мэдээжийн хэрэг, эерэг тоо нь сөрөг тоонуудаас үргэлж их байдаг бөгөөд хэрэв бид тооны тэнхлэгийг төсөөлвөл харьцуулах үед хамгийн том тоо нь хамгийн бага тооноос баруун тийш байх болно гэдгийг та мэднэ: ; ; гэх мэт.
Гэхдээ бүх зүйл үргэлж ийм амархан байдаг гэж үү? Тооны шугамын хаана нь, .
Жишээлбэл, тэдгээрийг тоотой хэрхэн харьцуулах вэ? Энэ бол үрэлт юм ...)
Эхлээд яаж, юуг харьцуулах талаар ерөнхийд нь ярья.
Чухал: тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй байхаар өөрчлөлт хийхийг зөвлөж байна!Өөрөөр хэлбэл, хувиргах явцад сөрөг тоогоор үржүүлэх нь зохисгүй юм энэ нь хориотойХэрэв хэсгүүдийн аль нэг нь сөрөг байвал квадрат.
Бутархайн харьцуулалт
Тиймээс бид хоёр бутархайг харьцуулах хэрэгтэй: ба.
Үүнийг хэрхэн хийх талаар хэд хэдэн сонголт байдаг.
Сонголт 1. Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруул.
Энгийн бутархай хэлбэрээр бичье.
- (Таны харж байгаагаар би бас хуваагч, хуваагчийг багасгасан).
Одоо бид бутархайг харьцуулах хэрэгтэй:
Одоо бид хоёр аргаар үргэлжлүүлэн харьцуулж болно. Бид чадна:
- Зүгээр л бүх зүйлийг нийтлэг хуваагч руу аваачиж, хоёр бутархайг буруу гэж үзүүлэв (тоологч нь хуваагчаас их):
Аль тоо нь илүү вэ? Энэ нь зөв, илүү том тоологчтой, өөрөөр хэлбэл эхнийх нь.
- "хасацгаая" (бид бутархай тус бүрээс нэгийг хассан, мөн бутархайн харьцаа өөрчлөгдөөгүй гэж бодъё) ба бутархайг харьцуулна уу:
Бид мөн тэдгээрийг нийтлэг хуваагч руу авчирдаг:
Бид өмнөх тохиолдолтой яг ижил үр дүнг авсан - эхний тоо нь хоёр дахь тооноос их байна:
Мөн нэгийг зөв хассан эсэхээ шалгацгаая? Эхний болон хоёр дахь тооцооны тоологчийн зөрүүг тооцоолъё.
1)
2)
Тиймээс бид бутархайг хэрхэн харьцуулж, тэдгээрийг нийтлэг хуваагч руу авчрах талаар авч үзсэн. Өөр арга руу шилжье - бутархайг харьцуулах, тэдгээрийг нийтлэг ... тоологч руу авчрах.
Сонголт 2. Бутархайг энгийн тоологч болгон бууруулж харьцуулах.
Тийм тийм. Энэ бол үсгийн алдаа биш. Энэ аргыг сургуульд хэн нэгэнд заах нь ховор боловч ихэнхдээ энэ нь маш тохиромжтой байдаг. Үүний мөн чанарыг хурдан ойлгохын тулд би танаас ганц асуулт асуух болно - "ямар тохиолдолд бутархайн үнэ цэнэ хамгийн их байдаг вэ?" Мэдээжийн хэрэг, та "тоологч нь аль болох их, хуваагч нь аль болох бага байх үед" гэж хэлэх болно.
Жишээлбэл, та үүнийг үнэн гэж хэлж чадах уу? Дараах бутархайг харьцуулах шаардлагатай бол яах вэ: ? Та мөн тэмдгийг даруй зөв тавих болно гэж би бодож байна, учир нь эхний тохиолдолд тэдгээр нь хэсгүүдэд хуваагдаж, хоёр дахь тохиолдолд бүхэл хэсгүүдэд хуваагддаг бөгөөд энэ нь хоёр дахь тохиолдолд хэсгүүд нь маш жижиг болж хувирдаг гэсэн үг бөгөөд үүний дагуу: . Таны харж байгаагаар энд хуваагч нь өөр боловч тоологч нь ижил байна. Гэхдээ энэ хоёр бутархайг харьцуулахын тулд нийтлэг хуваагч хайх шаардлагагүй. Хэдийгээр ... олж хараарай, харьцуулах тэмдэг буруу хэвээр байгаа эсэхийг?
Гэхдээ тэмдэг нь адилхан.
Анхны даалгавар руугаа буцаж орцгооё - харьцуулаад... Бид харьцуулж, ... Эдгээр бутархайг нийтлэг хуваагч руу биш, харин нийтлэг хүртэгч болгон бууруулъя. Үүнийг энгийнээр хийхийн тулд тоологч ба хуваагчэхний бутархайг үржүүлнэ. Бид авах:
Тэгээд. Аль бутархай том вэ? Энэ нь зөв, эхнийх нь.
Сонголт 3: Хасах аргыг ашиглан бутархайг харьцуулах.
Хасах аргыг ашиглан бутархайг хэрхэн харьцуулах вэ? Тийм ээ, маш энгийн. Бид нэг бутархайгаас өөр нэгийг хасна. Хэрэв үр дүн эерэг байвал эхний бутархай (минуэнд) хоёр дахь хэсгээс их (судлах), сөрөг байвал эсрэгээр байна.
Манай тохиолдолд эхний бутархайг хоёр дахь хэсгээс хасахыг оролдъё: .
Та аль хэдийн ойлгосноор бид энгийн бутархай руу хөрвүүлж, ижил үр дүнг авдаг - . Бидний илэрхийлэл дараах хэлбэртэй байна.
Дараа нь бид нийтлэг хуваагч руу бууруулах арга хэрэглэх шаардлагатай хэвээр байх болно. Асуулт нь: эхний аргаар бутархайг буруу болгон хувиргах уу, эсвэл хоёр дахь аргаар нэгжийг "арилгах" уу? Дашрамд хэлэхэд, энэ үйлдэл нь бүрэн математик үндэслэлтэй юм. Хараач:
Хоёрдахь хувилбар нь илүү таалагдаж байна, учир нь нийтлэг хуваагч руу багасгах үед тоологчийг үржүүлэх нь илүү хялбар болдог.
Үүнийг нийтлэг хуваагч руу аваачъя:
Энд гол зүйл бол бид хаана, ямар тооноос хассан бэ гэдэгт эргэлзэх хэрэггүй. Шийдлийн явцыг анхааралтай ажиглаж, тэмдгүүдийг санамсаргүйгээр төөрөлдүүлж болохгүй. Бид хоёр дахь тооноос эхний тоог хасаад сөрөг хариу авсан, тэгэхээр?.. Тийм ээ, эхний тоо хоёр дахь тооноос их байна.
Авчихсан? Бутархайг харьцуулж үзээрэй:
Зогс, зогсоо. Нийтлэг хуваах эсвэл хасах гэж бүү яар. Хараарай: та үүнийг аравтын бутархай руу хялбархан хөрвүүлж болно. Хэдий болтол болох вэ? Зөв. Эцсийн эцэст илүү юу байх вэ?
Энэ бол аравтын бутархай руу хөрвүүлэх замаар бутархайг харьцуулах өөр нэг сонголт юм.
Сонголт 4: Хуваах аргыг ашиглан бутархайг харьцуулах.
Тийм тийм. Мөн энэ нь бас боломжтой юм. Логик нь энгийн: бид том тоог жижиг тоонд хуваахад нэгээс их тоо гарах бөгөөд хэрэв бага тоог илүү их тоонд хуваавал хариулт нь -ээс хүртэлх интервал дээр унана.
Энэ дүрмийг санахын тулд харьцуулахын тулд дурын хоёр анхны тоог аваарай, жишээлбэл, ба. Илүү юу болохыг та мэдэх үү? Одоо хуваагаад үзье. Бидний хариулт бол. Үүний дагуу онол нь зөв юм. Хэрэв бид хуваах юм бол бидний олж авсан зүйл нь нэгээс бага бөгөөд энэ нь үнэндээ бага гэдгийг баталж байна.
Энэ дүрмийг энгийн бутархайд хэрэглэхийг хичээцгээе. Харьцуулъя:
Эхний бутархайг хоёр дахь хэсэгт хуваа.
Багаар товчилъё.
Хүлээн авсан үр дүн нь бага, энэ нь ногдол ашиг нь хуваагчаас бага гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл:
Бид бутархайг харьцуулах бүх боломжит хувилбаруудыг авч үзсэн. Та тэдгээрийг хэрхэн харж байна вэ 5:
- нийтлэг хуваагч руу бууруулах;
- нийтлэг тоологч руу бууруулах;
- аравтын бутархай хэлбэрт оруулах;
- хасах;
- хэлтэс.
Бэлтгэл хийхэд бэлэн үү? Бутархайг оновчтой байдлаар харьцуулна уу:
Хариултуудыг харьцуулж үзье:
- (- аравтын тоо руу хөрвүүлэх)
- (нэг бутархайг нөгөө бутархайд хувааж, тоо болон хуваагчаар багасгах)
- (бүхэл хэсгийг сонгоод, ижил тоологчийн зарчим дээр үндэслэн бутархайг харьцуулах)
- (нэг бутархайг нөгөө бутархайд хувааж, тоо болон хуваагчаар багасгах).
2. Зэрэглэлийн харьцуулалт
Одоо бид зөвхөн тоо биш, харин зэрэг () байгаа илэрхийллүүдийг харьцуулах хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ.
Мэдээжийн хэрэг, та амархан тэмдэг тавьж болно:
Эцсийн эцэст, хэрэв бид зэрэглэлийг үржүүлэх замаар орлуулах юм бол бид дараахь зүйлийг авна.
Энэхүү жижиг бөгөөд анхдагч жишээнээс дүрэм дараах байдалтай байна.
Одоо дараах зүйлсийг харьцуулж үзээрэй: . Та мөн хялбархан тэмдэг тавьж болно:
Учир нь хэрэв бид экспонентацийг үржвэрээр солих юм бол ...
Ерөнхийдөө та бүх зүйлийг ойлгодог бөгөөд энэ нь тийм ч хэцүү биш юм.
Зэрэгцээ нь өөр өөр үндэслэл, үзүүлэлттэй байх үед л хүндрэл үүсдэг. Энэ тохиолдолд нийтлэг ойлголтод хүргэхийг хичээх хэрэгтэй. Жишээлбэл:
Мэдээжийн хэрэг, энэ нь үүний дагуу илэрхийлэл нь дараах хэлбэртэй байгааг та мэднэ.
Хаалтуудыг нээж, олж авсан зүйлээ харьцуулцгаая.
Зарим онцгой тохиолдол бол зэрэглэлийн суурь () нэгээс бага байх явдал юм.
Хэрэв хоёр зэрэгтэй ба түүнээс их нь индекс нь бага байна.
Энэ дүрмийг батлахыг хичээцгээе. Байцгаая.
-ийн ялгаа гэж зарим натурал тоог оруулъя.
Логик, тийм үү?
Одоо нөхцөл байдалд дахин анхаарлаа хандуулцгаая - .
Тус тусад нь: . Тиймээс, .
Жишээлбэл:
Таны ойлгож байгаагаар бид эрх мэдлийн үндэс тэнцүү байх тохиолдолд авч үзсэн. Суурь нь -ээс хүртэлх завсарт байгааг харцгаая, гэхдээ илтгэгч нь тэнцүү байна. Энд бүх зүйл маш энгийн.
Үүнийг жишээгээр хэрхэн харьцуулахыг санацгаая:
Мэдээжийн хэрэг, та тооцоогоо хурдан хийсэн:
Тиймээс, харьцуулахын тулд ижил төстэй асуудлуудтай тулгарахдаа хурдан тооцоолж болох энгийн ижил төстэй жишээг санаж, энэ жишээн дээр үндэслэн илүү төвөгтэй шинж тэмдгүүдийг тэмдэглэ.
Өөрчлөлт хийхдээ хэрэв та үржүүлэх, нэмэх, хасах, хуваах бол бүх үйлдлийг зүүн ба баруун талд хоёуланг нь хийх ёстой (хэрэв та үржүүлбэл хоёуланг нь үржүүлэх ёстой) гэдгийг санаарай.
Үүнээс гадна аливаа заль мэх хийх нь ашиггүй байх тохиолдол байдаг. Жишээлбэл, та харьцуулах хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд хүчийг дээшлүүлж, үүн дээр үндэслэн тэмдгийг зохион байгуулах нь тийм ч хэцүү биш юм.
Дасгал хийцгээе. Зэрэг харьцуулах:
Хариултуудыг харьцуулахад бэлэн үү? Миний авсан зүйл энд байна:
- - ижил
- - ижил
- - ижил
- - ижил
3. Тоонуудыг үндэстэй харьцуулах
Эхлээд ямар үндэс байдгийг санацгаая? Та энэ бичлэгийг санаж байна уу?
Бодит тооны зэрэглэлийн язгуур нь тэнцүү байх тоо юм.
Үндэссөрөг болон эерэг тоонуудын хувьд сондгой зэрэглэл байдаг бүр үндэс- зөвхөн эерэг зүйлд зориулагдсан.
Үндэс утга нь ихэвчлэн хязгааргүй аравтын бутархай байдаг бөгөөд энэ нь үнэн зөв тооцоолоход хэцүү байдаг тул үндсийг харьцуулах чадвартай байх нь чухал юм.
Хэрэв та энэ нь юу болохыг, юугаар хооллодогийг мартсан бол - . Хэрэв та бүгдийг санаж байгаа бол үндсийг нь алхам алхмаар харьцуулж сурцгаая.
Бид харьцуулах хэрэгтэй гэж бодъё:
Эдгээр хоёр үндсийг харьцуулахын тулд та ямар ч тооцоо хийх шаардлагагүй, зөвхөн "язгуур" гэсэн ойлголтыг шинжлэхэд хангалттай. Миний юу яриад байгааг ойлгож байна уу? Тийм ээ, энэ тухай: эс тэгвээс үүнийг радикал илэрхийлэлтэй тэнцүү тооны гуравдахь зэрэглэлээр бичиж болно.
Өөр юу байна? эсвэл? Мэдээжийн хэрэг та үүнийг ямар ч хүндрэлгүйгээр харьцуулж болно. Бид хүчирхэг болгон өсгөх тоо их байх тусам үнэ цэнэ нь их байх болно.
Тэгэхээр. Нэг дүрэм гаргаж авцгаая.
Хэрэв язгуурын экспонентууд ижил байвал (бидний тохиолдолд энэ нь) радикал илэрхийллүүдийг (ба) харьцуулах шаардлагатай - радикал тоо том байх тусмаа ижил илтгэгчтэй язгуурын утга их байх болно.
Санахад хэцүү байна уу? Дараа нь толгойдоо жишээ авч,... Үүнээс илүү юу?
Үндэс нь дөрвөлжин тул язгуурын илтгэгч ижил байна. Нэг тооны () радикал илэрхийлэл нь нөгөө тооноос () их байна, энэ нь дүрэм үнэхээр үнэн гэсэн үг юм.
Хэрэв радикал илэрхийллүүд ижил боловч язгуурын зэрэг нь өөр байвал яах вэ? Жишээлбэл: .
Илүү их хэмжээний үндсийг гаргаж авахад бага тоо гарах нь тодорхой юм. Жишээ нь:
Эхний язгуурын утгыг дараах байдлаар, хоёр дахь язгуурын утгыг дараах байдлаар тэмдэглэе.
Эдгээр тэгшитгэлд илүү их байх ёстойг та амархан харж болно, тиймээс:
Хэрэв радикал илэрхийллүүд ижил байвал(бидний тохиолдолд), ба язгуурын илтгэгч өөр байна(бидний тохиолдолд энэ нь ба), дараа нь илтгэгчийг харьцуулах шаардлагатай(мөн) - үзүүлэлт өндөр байх тусам энэ илэрхийлэл бага байна.
Дараах үндсийг харьцуулж үзээрэй.
Үр дүнг харьцуулж үзье?
Бид үүнийг амжилттай шийдсэн :). Өөр нэг асуулт гарч ирнэ: хэрэв бид бүгд өөр байвал яах вэ? Зэрэг, радикал илэрхийлэл хоёулаа? Бүх зүйл тийм ч төвөгтэй биш, бид зөвхөн үндсийг нь "салах" хэрэгтэй. Тийм тийм. Зүгээр л зайлуул)
Хэрэв бид өөр градус, радикал илэрхийлэлтэй бол язгуурын илтгэгчийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (тухай хэсгийг уншина уу) олж, хоёр илэрхийллийг хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй тэнцүү зэрэгт өсгөх хэрэгтэй.
Бид бүгд үг, үгээр байдаг. Энд нэг жишээ байна:
- Бид үндэсийн үзүүлэлтүүдийг хардаг - ба. Тэдний хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь .
- Хоёр илэрхийлэлийг хүч болгон нэмэгдүүлье:
- Илэрхийлэлийг хувиргаж, хаалтуудыг нээцгээе (дэлгэрэнгүй мэдээллийг бүлэгт):
- Хийсэн зүйлээ тоолж, тэмдэг тавьцгаая.
4. Логарифмын харьцуулалт
Тиймээс бид логарифмыг хэрхэн харьцуулах вэ гэсэн асуултанд аажмаар боловч гарцаагүй ирлээ. Хэрэв та энэ ямар амьтан болохыг санахгүй байгаа бол эхлээд энэ хэсгээс онолыг уншихыг зөвлөж байна. Та уншсан уу? Дараа нь хэдэн чухал асуултанд хариулна уу:
- Логарифмын аргумент юу вэ, түүний суурь нь юу вэ?
- Функц өсөх эсвэл буурах эсэхийг юу тодорхойлдог вэ?
Хэрэв та бүх зүйлийг санаж, төгс эзэмшсэн бол эхэлцгээе!
Логарифмыг бие биетэйгээ харьцуулахын тулд та зөвхөн 3 аргыг мэдэх хэрэгтэй.
- ижил үндэслэл болгон бууруулах;
- ижил аргументыг багасгах;
- Гурав дахь тоотой харьцуулах.
Эхлээд логарифмын суурь дээр анхаарлаа хандуулаарай. Хэрэв энэ нь бага бол функц буурч, илүү бол нэмэгддэг гэдгийг та санаж байна уу. Үүний үндсэн дээр бидний дүгнэлт гарах болно.
Нэг суурь буюу аргумент болгон бууруулсан логарифмуудын харьцуулалтыг авч үзье.
Эхлэхийн тулд асуудлыг хялбаршуулж үзье: харьцуулсан логарифмуудыг оруулъя тэгш үндэслэл. Дараа нь:
- Функц нь интервал дээр нэмэгддэг бөгөөд энэ нь тодорхойлолтоор "шууд харьцуулалт" гэсэн үг юм.
- Жишээ:- үндэслэл нь ижил тул бид аргументуудыг харьцуулж үздэг: , тиймээс:
- Функц, at, интервал дээр буурдаг бөгөөд энэ нь тодорхойлолтоор бол, дараа нь ("урвуу харьцуулалт") гэсэн үг юм. - суурь нь ижил, бид аргументуудыг харьцуулж үздэг: гэхдээ функц буурч байгаа тул логарифмын тэмдэг нь "урвуу" байх болно: .
Одоо шалтгаан нь өөр боловч аргументууд нь ижил байх тохиолдлуудыг авч үзье.
- Суурь нь илүү том.
- . Энэ тохиолдолд бид "урвуу харьцуулалтыг" ашигладаг. Жишээ нь: - аргументууд нь адилхан, ба. Суурийг харьцуулж үзье: гэхдээ логарифмын тэмдэг нь "урвуу" байх болно:
- А суурь нь завсарт байна.
- . Энэ тохиолдолд бид "шууд харьцуулалтыг" ашигладаг. Жишээлбэл:
- . Энэ тохиолдолд бид "урвуу харьцуулалтыг" ашигладаг. Жишээлбэл:
Бүгдийг ерөнхий хүснэгт хэлбэрээр бичье.
| , үүнд | , үүнд | |
Үүний дагуу та аль хэдийн ойлгосноор логарифмуудыг харьцуулахдаа бид ижил суурь буюу аргумент руу хөтлөх хэрэгтэй.Бид нэг баазаас нөгөөд шилжих томъёог ашиглан нэг суурь дээр ирдэг.
Та мөн логарифмуудыг гурав дахь тоотой харьцуулж, үүн дээр үндэслэн аль нь бага, аль нь илүү гэсэн дүгнэлтийг гаргаж болно. Жишээлбэл, энэ хоёр логарифмыг хэрхэн харьцуулах талаар бодож үзээрэй?
Бага зэрэг зөвлөгөө - харьцуулахын тулд логарифм нь танд маш их тус болох бөгөөд аргумент нь тэнцүү байх болно.
Бодсон уу? Хамтдаа шийдье.
Бид тантай эдгээр хоёр логарифмыг хялбархан харьцуулж болно.
Яаж гэдгийг мэдэхгүй байна уу? Дээрээс үзнэ үү. Бид үүнийг зүгээр л цэгцэлсэн. Ямар тэмдэг байх вэ? Баруун:
Зөвшөөрч байна уу?
Бие биетэйгээ харьцуулж үзье:
Та дараахь зүйлийг авах ёстой.
Одоо бидний бүх дүгнэлтийг нэг дор нэгтгэ. Болсон уу?
5. Тригонометрийн илэрхийллийн харьцуулалт.
Синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу вэ? Бидэнд яагаад нэгж тойрог хэрэгтэй вэ, түүн дээрх тригонометрийн функцүүдийн утгыг хэрхэн олох вэ? Хэрэв та эдгээр асуултын хариултыг мэдэхгүй байгаа бол энэ сэдвээр онолыг уншихыг зөвлөж байна. Хэрэв та мэдэж байгаа бол тригонометрийн илэрхийлэлүүдийг бие биетэйгээ харьцуулах нь танд хэцүү биш юм!
Ой санамжаа жаахан сэргээцгээе. Нэгж тригонометрийн тойрог, дотор нь сийлсэн гурвалжинг зуръя. Та удирдаж чадсан уу? Одоо гурвалжны талуудыг ашиглан аль талд нь косинус, аль талд нь синусыг зурж тэмдэглэ. (Мэдээж та синус нь эсрэг талын гипотенузын харьцаа, косинус нь зэргэлдээ тал гэдгийг санаж байна уу?). Та зурсан уу? Агуу их! Эцсийн мэдрэгч нь бидэнд хаана байх болно, хаана гэх мэтийг бичих явдал юм. Та үүнийг тавьсан уу? Phew) Чи бид хоёрт юу тохиолдсоныг харьцуулж үзье.
Өө! Одоо харьцуулалтыг эхлүүлье!
Бид харьцуулах хэрэгтэй гэж бодъё. Эдгээр өнцгийг нүднүүдэд (бид хаана тэмдэглэсэн) сануулгыг ашиглан зурж, нэгжийн тойрог дээр цэгүүдийг байрлуул. Та удирдаж чадсан уу? Эндээс надад авсан зүйл байна.
Одоо тойрог дээр тэмдэглэсэн цэгүүдээс тэнхлэгт перпендикуляр буулгая... Аль нь вэ? Аль тэнхлэг нь синусын утгыг харуулдаг вэ? Зөв,. Энэ бол таны авах ёстой зүйл юм:
Энэ зургийг харахад аль нь том байна: эсвэл? Мэдээжийн хэрэг, учир нь цэг нь цэгээс дээгүүр байдаг.
Үүнтэй адилаар бид косинусын утгыг харьцуулж үздэг. Бид зөвхөн тэнхлэгт перпендикулярыг доошлуулдаг ... Энэ нь зөв, . Үүний дагуу бид аль цэг нь баруун тийш (эсвэл синусуудын хувьд илүү өндөр) байгааг харвал утга нь илүү байна.
Та шүргэгчийг хэрхэн харьцуулахыг аль хэдийн мэдсэн байх, тийм ээ? Тангенс гэж юу болохыг мэдэхэд л хангалттай. Тэгэхээр шүргэгч гэж юу вэ?) Зөв, синусын косинусын харьцаа.
Шүргэгчийг харьцуулахын тулд бид өмнөх тохиолдлын адил өнцгийг зурдаг. Бид харьцуулах хэрэгтэй гэж бодъё:
Та зурсан уу? Одоо бид координатын тэнхлэг дээр синусын утгуудыг тэмдэглэв. Та анзаарсан уу? Одоо косинусын утгыг координатын шугам дээр зааж өгнө үү. Болсон уу? Харьцуулъя:
Одоо бичсэн зүйлдээ дүн шинжилгээ хий. - бид том сегментийг жижиг хэсэг болгон хуваадаг. Хариулт нь нэгээс их утгыг агуулна. Тийм үү?
Тэгээд жижигийг нь томоор нь хуваах үед. Хариулт нь нэгээс яг бага тоо байх болно.
Тэгэхээр аль тригонометрийн илэрхийлэл илүү их утгатай вэ?
Баруун:
Таны ойлгож байгаагаар котангенсуудыг харьцуулах нь ижил зүйл бөгөөд зөвхөн урвуу: бид косинус ба синусыг тодорхойлдог сегментүүд хоорондоо хэрхэн холбогдож байгааг хардаг.
Дараах тригонометрийн илэрхийллүүдийг өөрөө харьцуулж үзээрэй.
Жишээ.
Хариултууд.
ТООНЫ ХАРЬЦУУЛАЛТ. ДУНДАЖ ТҮВШИН.
Аль тоо нь илүү вэ: эсвэл? Хариулт нь ойлгомжтой. Тэгээд одоо: эсвэл? Одоо тийм ч тод харагдахгүй байна, тийм ээ? Тэгэхээр: эсвэл?
Ихэнхдээ та аль тоон илэрхийлэл илүү болохыг мэдэх хэрэгтэй. Жишээлбэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ тэнхлэг дээрх цэгүүдийг зөв дарааллаар байрлуулахын тулд.
Одоо би танд ийм тоонуудыг хэрхэн харьцуулахыг заах болно.
Хэрэв та тоонуудыг харьцуулах шаардлагатай бол бид тэдгээрийн хооронд тэмдэг тавина (Versus гэсэн Латин үгнээс гаралтай эсвэл товчилсон эсрэг - эсрэг): . Энэ тэмдэг нь үл мэдэгдэх тэгш бус тэмдгийг () орлоно. Дараа нь тоонуудын хооронд ямар тэмдгийг байрлуулах шаардлагатай болох нь тодорхой болох хүртэл бид ижил өөрчлөлтүүдийг хийнэ.
Тоонуудыг харьцуулах мөн чанар нь энэ юм: бид тэмдгийг ямар нэгэн тэгш бус байдлын тэмдэг гэж үздэг. Мөн бид тэгш бус байдлын талаар ихэвчлэн хийдэг бүх зүйлийг хийж чадна гэсэн илэрхийллээр:
- аль аль талд нь ямар ч тоог нэмэх (мөн мэдээжийн хэрэг бид бас хасаж болно)
- "Бүх зүйлийг нэг тал руу шилжүүлэх", өөрөөр хэлбэл харьцуулсан илэрхийллүүдийн аль нэгийг нь хоёр хэсгээс хасах. Хасах илэрхийллийн оронд: .
- ижил тоогоор үржүүлэх эсвэл хуваах. Хэрэв энэ тоо сөрөг байвал тэгш бус байдлын тэмдэг урвуу болно: .
- хоёр талыг ижил хүчээр дээшлүүлнэ. Хэрэв энэ хүч нь тэгш байвал та хоёр хэсэг нь ижил тэмдэгтэй эсэхийг шалгах хэрэгтэй; Хэрэв хоёр хэсэг нь эерэг байвал тэмдэг нь хүчин чадалд шилжихэд өөрчлөгдөхгүй, харин сөрөг байвал эсрэгээр өөрчлөгдөнө.
- хоёр хэсгээс ижил зэрэгтэй үндсийг гаргаж авна. Хэрэв бид тэгш градусын үндсийг гаргаж авах юм бол эхлээд хоёр илэрхийлэл нь сөрөг биш эсэхийг шалгах хэрэгтэй.
- бусад ижил төстэй өөрчлөлтүүд.
Чухал: тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй байхаар өөрчлөлт хийхийг зөвлөж байна! Өөрөөр хэлбэл, хувиргалт хийх үед сөрөг тоогоор үржүүлэх нь зохисгүй бөгөөд хэрэв хэсгүүдийн аль нэг нь сөрөг байвал та квадратыг авч чадахгүй.
Хэд хэдэн ердийн нөхцөл байдлыг авч үзье.
1. Экспоненциал.
Жишээ.
Аль нь илүү вэ: эсвэл?
Шийдэл.
Тэгш бус байдлын хоёр тал эерэг тул язгуураас салахын тулд квадрат болгож болно.
Жишээ.
Аль нь илүү вэ: эсвэл?
Шийдэл.
Энд бид үүнийг квадрат болгож болно, гэхдээ энэ нь зөвхөн квадрат язгуураас ангижрахад тусална. Энд хоёр үндэс нь алга болохуйц хэмжээнд хүртэл өсгөх шаардлагатай. Энэ нь энэ зэргийн илтгэгч нь (эхний язгуурын зэрэг) болон хоёуланд нь хуваагдах ёстой гэсэн үг юм. Тиймээс энэ тоог 2-р зэрэглэл болгон нэмэгдүүлсэн:
2. Түүний нэгдэлээр үржүүлэх.
Жишээ.
Аль нь илүү вэ: эсвэл?
Шийдэл.
Ялгаа бүрийг нэгтгэсэн нийлбэрээр үржүүлж хуваая.
Баруун талын хуваагч зүүн талын хуваагчаас их байх нь ойлгомжтой. Тиймээс баруун хэсэг нь зүүнээс бага байна:
3. Хасах
Үүнийг санацгаая.
Жишээ.
Аль нь илүү вэ: эсвэл?
Шийдэл.
Мэдээжийн хэрэг, бид бүх зүйлийг дөрвөлжин болгож, дахин нэгтгэж, дахин квадрат болгож чадна. Гэхдээ та илүү ухаалаг зүйл хийж болно:
Эндээс харахад зүүн талд гишүүн бүр баруун талд байгаа гишүүн бүрээс бага байна.
Үүний дагуу зүүн талд байгаа бүх нэр томъёоны нийлбэр нь баруун талд байгаа бүх нэр томъёоны нийлбэрээс бага байна.
Гэхдээ болгоомжтой байгаарай! Биднээс өөр юу гэж асуув ...
Баруун тал нь илүү том.
Жишээ.
Тоонуудыг харьцуулаад...
Шийдэл.
Тригонометрийн томъёог санацгаая:
Тригонометрийн тойргийн аль хэсэгт цэгүүд болон худал болохыг шалгацгаая.
4. Хэлтэс.
Энд бид бас энгийн дүрмийг ашигладаг: .
эсвэл, тэр нь.
Тэмдгийг өөрчлөх үед: .
Жишээ.
Харьцуулах: .
Шийдэл.
5. Гурав дахь тоотой тоонуудыг харьцуул
Хэрэв ба бол (дамжилтын хууль).
Жишээ.
Харьцуулах.
Шийдэл.
Тоонуудыг бие биентэйгээ биш, харин тоогоор нь харьцуулж үзье.
Энэ нь ойлгомжтой.
Нөгөө талаар, .
Жишээ.
Аль нь илүү вэ: эсвэл?
Шийдэл.
Хоёр тоо нь илүү том боловч бага байна. Нэгээс их, нөгөөгөөсөө бага байхаар тоог сонгоцгооё. Жишээлбэл, . Шалгацгаая:
6. Логарифмыг юу хийх вэ?
Гоц гойд зүйлгүй. Логарифмуудаас хэрхэн ангижрах талаар энэ сэдвээр дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно. Үндсэн дүрмүүд нь:
\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Зүүн баруун сум (\rm( ))\left[ (\begin(массив)(*(20)(l))(x \vee (a^) b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \шаантаг (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \шаантаг у\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]
Бид өөр өөр суурьтай, ижил аргументтай логарифмын тухай дүрмийг нэмж болно.
Үүнийг ингэж тайлбарлаж болно: суурь нь том байх тусам ижил зүйлийг авахын тулд бага зэрэг өсгөх шаардлагатай болно. Хэрэв суурь нь жижиг бол харгалзах функц нь монотон буурч байгаа тул эсрэгээр нь үнэн юм.
Жишээ.
Тоонуудыг харьцуул: ба.
Шийдэл.
Дээрх дүрмийн дагуу:
Одоо ахисан түвшний хувьд томъёо.
Логарифмыг харьцуулах дүрмийг илүү товчоор бичиж болно.
Жишээ.
Аль нь илүү вэ: эсвэл?
Шийдэл.
Жишээ.
Аль тоо илүү байгааг харьцуулна уу: .
Шийдэл.
ТООНЫ ХАРЬЦУУЛАЛТ. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН
1. Экспоненциал
Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр тал эерэг байвал үндсийг арилгахын тулд тэдгээрийг квадрат болгож болно
2. Түүний нэгдэлээр үржүүлэх
Коньюгат гэдэг нь квадратуудын зөрүүний томъёоны илэрхийллийг нөхөх хүчин зүйл юм: - төлөө ба эсрэгээр нэгтгэх, учир нь .
3. Хасах
4. Хэлтэс
Хэзээ эсвэл тэр
Тэмдгийг өөрчлөх үед:
5. Гурав дахь тоотой харьцуулах
Хэрэв тэгвэл
6. Логарифмын харьцуулалт
Үндсэн дүрмүүд:
Өөр өөр суурьтай, ижил аргументтай логарифмууд:
За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол энэ нь таныг маш дажгүй гэсэн үг юм.
Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь өөрөө ямар нэг зүйлийг эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та дуустал уншсан бол та энэ 5% -д байна!
Одоо хамгийн чухал зүйл.
Та энэ сэдвээр онолыг ойлгосон. Би давтан хэлье, энэ бол үнэхээр гайхалтай! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.
Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...
Юуны төлөө?
Улсын нэгдсэн шалгалтыг амжилттай өгч, их, дээд сургуульд төсвөөр элссэнийхээ төлөө, ХАМГИЙН ЧУХАЛ насан туршдаа.
Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, би нэг л зүйлийг хэлье...
Сайн боловсрол эзэмшсэн хүмүүс сураагүй хүмүүсээс хамаагүй их цалин авдаг. Энэ бол статистик.
Гэхдээ энэ нь гол зүйл биш юм.
Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө олон боломжууд нээгдэж, амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болж байгаа юм болов уу? Мэдэхгүй...
Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...
Улсын нэгдсэн шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь... аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?
ЭНЭ СЭДВИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА АВНА.
Шалгалтын үеэр танаас онол асуухгүй.
Танд хэрэгтэй болно цаг хугацааны эсрэг асуудлыг шийдвэрлэх.
Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (МАШ ИХ!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь гарцаагүй, эсвэл зүгээр л цаг зав гарахгүй.
Энэ нь спорттой адил юм - баттай ялахын тулд та үүнийг олон удаа давтах хэрэгтэй.
Хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой зайлшгүй шийдэл, нарийвчилсан дүн шинжилгээ хийхмөн шийд, шийд, шийд!
Та бидний даалгавруудыг (заавал биш) ашиглаж болно, бид мэдээж санал болгож байна.
Бидний даалгавруудыг илүү сайн ашиглахын тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.
Хэрхэн? Хоёр сонголт байна:
- Энэ нийтлэл дэх бүх далд ажлуудын түгжээг тайлах -
- Сурах бичгийн бүх 99 өгүүлэлд байгаа бүх далд даалгавруудыг нээх Сурах бичиг худалдаж аваарай - 899 рубль
Тийм ээ, бидний сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд бүх даалгавар, тэдгээрт байгаа бүх далд текстийг шууд нээх боломжтой.
Бүх далд даалгаврууд руу нэвтрэх эрхийг сайтын ашиглалтын хугацаанд олгодог.
Дүгнэж хэлэхэд...
Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онол дээр бүү зогс.
“Ойлголоо”, “Би шийдэж чадна” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.
Асуудлыг хайж олоод шийдээрэй!
ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ
"Санкт-Петербургийн сургууль" Тете-а-Тете" хувийн боловсролын байгууллага
Дээд зэрэглэлийн математикийн багш
Тоонуудыг харьцуулах модуль
Тодорхойлолт 1. Хэрэв хоёр тоо бол1 ) аТэгээдбхуваах үедхижил үлдэгдлийг өгнөr, тэгвэл ийм тоонуудыг equiremainder эсвэл гэж нэрлэдэгмодулийн хувьд харьцуулж болно х.
Мэдэгдэл 1. Болъёхзарим эерэг тоо. Дараа нь тоо бүраүргэлж, үүнээс гадна, цорын ганц арга замаар хэлбэрээр төлөөлж болно
| a=sp+r, | (1) |
Хаанас- тоо, баr0,1, ..., тоонуудын нэгх−1.
1 ) Энэ өгүүлэлд тоо гэдэг үгийг бүхэл тоо гэж ойлгох болно.
Үнэхээр. Хэрэвс−∞-аас +∞ хүртэлх утгыг, дараа нь тоонуудыг хүлээн авнаspолон тооны бүх тооны цуглуулгыг илэрхийлнэх. Хоорондын тоог харцгааяspТэгээд (s+1) p=sp+p. Учир ньхэерэг бүхэл тоо, дараа нь хооронд байнаspТэгээдsp+pтоонууд байдаг
Гэхдээ эдгээр тоог тохируулснаар авч болноrтэнцүү 0, 1, 2,...,х−1. Тиймээсsp+r=aбүх боломжит бүхэл утгыг авах болно.
Энэ төлөөлөл өвөрмөц гэдгийг харуулъя. Ингэж жүжиглэеххоёр янзаар төлөөлж болноa=sp+rТэгээдa=s1 х+ r1 . Дараа нь
эсвэл
| (2) |
Учир ньr1 0,1, ..., тоонуудын аль нэгийг хүлээн авна.х−1, дараа нь үнэмлэхүй утгаr1 − rбагах. Гэхдээ (2) -аас үүнийг дагаж мөрддөгr1 − rолонх. Тиймээсr1 = rТэгээдс1 = с.
Тооrдуудсанхасах тооамодульх(өөрөөр хэлбэл тооrтооны үлдэгдэл гэж нэрлэдэгадээрх).
Мэдэгдэл 2. Хэрэв хоёр тоо болаТэгээдбмодулийн хувьд харьцуулж болнох, Тэрa−bхуваасанх.
Үнэхээр. Хэрэв хоёр тоо болаТэгээдбмодулийн хувьд харьцуулж болнох, дараа нь хуваах үедхижил үлдэгдэлтэй байнах. Дараа нь
ХаанасТэгээдс1 зарим бүхэл тоо.
Эдгээр тоонуудын ялгаа
| (3) |
хуваасанх, учир нь (3) тэгшитгэлийн баруун тал нь хуваагданах.
Мэдэгдэл 3. Хэрэв хоёр тооны зөрүү нь хуваагддаг болх, дараа нь эдгээр тоонуудыг модулийн хувьд харьцуулж болнох.
Баталгаа. -ээр тэмдэглэеrТэгээдr1 хуваагдлын үлдэгдэлаТэгээдбдээрх. Дараа нь
хаана
дагууa−bхуваасанх. Тиймээсr− r1 нь мөн хуваагданах. Гэхдээ учир ньrТэгээдr1 тоо 0,1,...,х−1, дараа нь үнэмлэхүй утга |r− r1 |< х. Дараа нь, тулдr− r1 хуваасанхнөхцөл хангагдсан байх ёстойr= r1 .
Энэхүү мэдэгдлээс харахад харьцуулж болох тоонууд нь ялгаа нь модульд хуваагддаг тоонууд юм.
Хэрэв та эдгээр тоог бичих шаардлагатай болаТэгээдбмодулийн хувьд харьцуулж болнох, дараа нь бид тэмдэглэгээг ашигладаг (Гауссын танилцуулсан):
| a≡bгорим(х) |
Жишээ 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).
Эхний жишээнээс харахад 25-ыг 7-д хуваахад 39-тэй ижил үлдэгдэл гарна. Үнэхээр 25 = 3·7+4 (үлдэгдэл 4). 39=3·7+4 (үлдэгдэл 4). Хоёрдахь жишээг авч үзэхдээ үлдэгдэл нь модулиас бага сөрөг бус тоо байх ёстойг анхаарах хэрэгтэй (жишээ нь 4). Дараа нь бид бичиж болно: −18=−5·4+2 (үлдэгдэл 2), 14=3·4+2 (үлдэгдэл 2). Тиймээс −18-ыг 4-т хуваахад 2-ын үлдэгдэл, 14-ийг 4-т хуваахад 2-ын үлдэгдэл үлдэнэ.
Модулийн харьцуулалтын шинж чанарууд
Өмч 1. Хэнд ч зориулаваТэгээдхҮргэлж
| a≡aгорим(х). |
Өмч 2. Хэрэв хоёр тоо болаТэгээдвтоотой харьцуулах боломжтойбмодульх, ТэраТэгээдвижил модулийн дагуу бие биетэйгээ харьцуулах боломжтой, i.e. Хэрэв
| a≡bгорим(х), b≡cгорим(х). |
Тэр
| a≡cгорим(х). |
Үнэхээр. 2-р өмчийн нөхцөл байдлаас энэ нь дараах байдалтай байнаa−bТэгээдb−cгэж хуваагддагх. Дараа нь тэдний нийлбэрa−b+(b−c)=a−cмөн хуваагданах.
Өмч 3. Хэрэв
| a≡bгорим(х) Тэгээдm≡nгорим(х), |
Тэр
| a+m≡b+nгорим(х) Тэгээдa−m≡b−nгорим(х). |
Үнэхээр. Учир ньa−bТэгээдm−nгэж хуваагддагх, Тэр
| ( a−b)+ ( m−n)=( а+м)−( b+n) , |
| ( a−b)−( m−n)=( a−m)−( b−n) |
мөн хуваагданах.
Энэ шинж чанарыг ижил модультай ямар ч тооны харьцуулалт болгон өргөжүүлж болно.
Өмч 4. Хэрэв
| a≡bгорим(х) Тэгээдm≡nгорим(х), |
Тэр
Цаашидm−nхуваасанх, тиймээсb(m−n)=bm−bnмөн хуваагданах, гэсэн үг
| bm≡bnгорим(х). |
Тэгэхээр хоёр тообайнаТэгээдтэрбуммодулийн хувьд ижил тоотой харьцуулах боломжтойbm, тиймээс тэдгээрийг бие биетэйгээ харьцуулах боломжтой (өмч 2).
Өмч 5. Хэрэв
| a≡bгорим(х). |
Тэр
| ак≡bкгорим(х). |
Хаанакзарим сөрөг бус бүхэл тоо.
Үнэхээр. Бидэнд байгааa≡bгорим(х). 4-р өмчөөс энэ нь дараах байдалтай байна
| ................. |
| ак≡bкгорим(х). |
Дараах мэдэгдэлд 1-5 хүртэлх бүх шинж чанарыг харуул.
Мэдэгдэл 4. Болъёе( x1 , x2 , x3 , ...) нь бүхэл тооны коэффициент ба let бүхий бүхэл бүтэн рационал функц юм
| а1 ≡ б1 , а2 ≡ б2 , а3 ≡ б3 , ... горим (х). |
Дараа нь
| е( а1 , а2 , а3 , ...)≡ е( б1 , б2 , б3 , ...) mod (х). |
Хуваалцвал бүх зүйл өөр болно. Харьцуулснаас
Мэдэгдэл 5. Болъё
Хаанаλ Энэхамгийн том нийтлэг хуваагчтоомТэгээдх.
Баталгаа. Болъёλ тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчмТэгээдх. Дараа нь
Учир ньm(a−b)хуваасанк, Тэр
тэг үлдэгдэлтэй, өөрөөр хэлбэл.м1 ( a−b) хуваанак1 . Гэхдээ тоонуудм1 Тэгээдк1 тоонууд харьцангуй энгийн. Тиймээсa−bхуваасанк1 = к/λТэгээд,p,q,s.
Үнэхээр. Ялгааa≡bолон байх ёстойp,q,s.тиймээс олон тоо байх ёстойh.
Онцгой тохиолдолд, хэрэв модулиудp,q,sтэгвэл анхны тоонууд
| a≡bгорим(h), |
Хаанаh=pqs.
Бид сөрөг модулиуд дээр суурилсан харьцуулалтыг зөвшөөрөх боломжтой гэдгийг анхаарна уу, i.e. харьцуулалтa≡bгорим(х) энэ тохиолдолд ялгаа гэсэн үгa−bхуваасанх. Харьцуулалтын бүх шинж чанарууд сөрөг модулиудын хувьд хүчинтэй хэвээр байна.
Хоёр бүхэл тооны хувьд XТэгээд цагтХэрэв тэдгээрийн зөрүү нь тэгш тоо байвал паритетаар харьцуулах харьцааг оруулъя. Өмнө нь оруулсан гурван тэнцлийн нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгахад хялбар байдаг. Ингэж оруулсан эквивалент харьцаа нь бүхэл тоон багцыг тэгш тооны дэд олонлог ба сондгой тооны дэд олонлог гэсэн хоёр салангид дэд олонлогт хуваадаг.
Энэ тохиолдлыг ерөнхийд нь авч үзвэл, зарим тогтмол натурал тооны үржвэрээр ялгаатай хоёр бүхэл тоо нь эквивалент гэж хэлэх болно. Энэ нь Гауссын танилцуулсан модулийг харьцуулах үзэл баримтлалын үндэс суурь юм.
Тоо А, харьцуулах боломжтой бмодуль м, хэрэв тэдгээрийн ялгаа нь тогтмол натурал тоонд хуваагддаг бол м, тэр бол а - бхуваасан м. Үүнийг бэлгэдлийн хувьд дараах байдлаар бичнэ.
a ≡ b(mod m),
мөн ингэж уншина: А-тай харьцуулах боломжтой бмодуль м.
Харьцуулалт ба тэгш байдлын гүн гүнзгий аналогийн ачаар ийм байдлаар нэвтрүүлсэн хамаарал нь тоонууд нь олон тоогоор ялгаатай байх тооцоог хялбаршуулдаг. м, үнэндээ ялгаагүй (харьцуулалт нь m-ийн зарим үржвэр хүртэлх тэгш байдал учраас).
Жишээлбэл, 7 ба 19-ийн тоог харьцуулах боломжтой модуль 4, гэхдээ харьцуулах боломжгүй модуль 5, учир нь 19-7=12 нь 4-т хуваагддаг ба 5-д хуваагддаггүй.
Мөн тоо гэж хэлж болно Xмодуль мбүхэл тоонд хуваахад үлдсэнтэй тэнцүү Xдээр м, учир нь
x=km+r, r = 0, 1, 2, ... , m-1.
Өгөгдсөн модулийн дагуу тоонуудын харьцуулалт нь эквивалентын бүх шинж чанартай эсэхийг шалгахад хялбар байдаг. Тиймээс бүхэл тоонуудын багцыг модулийн хувьд харьцуулж болох тооны ангиудад хуваадаг м. Ийм ангиудын тоо тэнцүү байна м, мөн ижил ангиллын бүх тоонуудыг хуваах үед мижил үлдэгдлийг өгнө. Жишээлбэл, хэрэв м= 3, тэгвэл бид 3-ын үржвэр (3-т хуваахад 0-ийн үлдэгдэл өгдөг), 3-т хуваагдахад 1 үлдэгдэл үлдээдэг тоонуудын ангилал, гарах тоонуудын ангилал гэсэн гурван анги авна. 3-т хуваахад үлдэгдэл 2.
Харьцуулалтыг ашиглах жишээг сайн мэддэг хуваагдах шалгуураар өгсөн болно. Нийтлэг тооны дүрслэл nАравтын тооллын систем дэх тоонууд дараах хэлбэртэй байна.
n = c10 2 + b10 1 + a10 0,
Хаана а, б, в,- баруунаас зүүн тийш бичигдсэн тооны цифрүүд, тиймээс А- нэгжийн тоо, б- аравтын тоо гэх мэт. 10 мянгаас хойш ≡ Ямар ч k≥0-ийн хувьд 1(mod9) байвал бичигдсэн зүйлээс ингэж гарна
n ≡ c + b + a(mod9),
эндээс 9-д хуваагдах тестийн дараа: nцифрүүдийн нийлбэр нь 9-д хуваагдах тохиолдолд л 9-д хуваагдана. Энэ үндэслэл нь 9-ийг 3-аар солиход мөн хамаарна.
Бид 11-д хуваагдах тестийг авдаг. Харьцуулалт:
10≡- 1 (mod11), 10 2 ≡ 1(mod11) 10 3 ≡- 1(mod11) гэх мэт. Тийм ч учраас n ≡ c - b + a - ….(mod11).
Тиймээс, n a - b + c -... цифрүүдийн ээлжлэн нийлбэр нь 11-д хуваагдах тохиолдолд л 11-д хуваагдана.
Жишээлбэл, 9581 тооны цифрүүдийн ээлжлэн нийлбэр нь 1 - 8 + 5 - 9 = -11, энэ нь 11-д хуваагддаг бөгөөд энэ нь 9581 тоо 11-д хуваагддаг гэсэн үг юм.
Хэрэв харьцуулалт байгаа бол: , тэгвэл тэдгээрийг тэгшитгэлтэй ижил аргаар гишүүнээр нь нэмж, хасаж, үржүүлж болно.
Харьцуулалтыг үргэлж бүхэл тоогоор үржүүлж болно:
хэрэв , тэгвэл
Гэсэн хэдий ч харьцуулалтыг аль нэг хүчин зүйлээр багасгах нь үргэлж боломжгүй байдаг.Жишээ нь, 42 ба 12 тоонуудын хувьд нийтлэг хүчин зүйл 6-аар багасгах боломжгүй; ийм бууралт нь буруу үр дүнд хүргэдэг, учир нь .
Харьцуулах модулийн тодорхойлолтоос үзэхэд хэрэв энэ хүчин зүйл нь модультай ижил бол хүчин зүйлээр бууруулахыг зөвшөөрнө.
Аливаа бүхэл тоог харьцуулах боломжтой гэдгийг дээр дурдсан мдараах тоонуудын аль нэгээр: 0, 1, 2,... , m-1.
Энэ цувралаас гадна ижил шинж чанартай бусад цуврал тоонууд байдаг; Тиймээс, жишээлбэл, ямар ч тоог mod 5-тай харьцуулж болно: 0, 1, 2, 3, 4, гэхдээ дараах тоонуудын аль нэгтэй харьцуулж болно: 0, -4, -3, -2, - 1, эсвэл 0, 1, -1, 2, -2. Ийм тоонуудын аль нэгийг модуль 5-ын үлдэгдлийн бүрэн систем гэж нэрлэдэг.
Тиймээс үлдэгдэл горимын бүрэн систем мямар ч цуврал мбие биетэйгээ харьцуулах боломжгүй хоёр тоо. Ихэвчлэн 0, 1, 2, ..., гэсэн тооноос бүрдэх бүрэн хасалтын системийг ашигладаг. м-1. Тоо хасаж байна nмодуль мнь хэлтсийн үлдсэн хэсэг юм nдээр м, энэ нь төлөөллийн дагуу n = км + r, 0<r<м- 1.
Бид оновчтой тоог үргэлжлүүлэн судалж байна. Энэ хичээлээр бид тэдгээрийг хэрхэн харьцуулах талаар сурах болно.
Өмнөх хичээлүүдээс бид баруун тийшээ координатын шулуун дээр байрлаж байгаа тоо төдий чинээ том болохыг олж мэдсэн. Үүний дагуу тоо нь зүүн тийшээ координатын шугам дээр байрлах тусам бага байна.
Жишээлбэл, хэрэв та 4 ба 1-ийн тоог харьцуулж үзвэл 4 нь 1-ээс их байна гэж шууд хариулж чадна. Энэ бол бүрэн логик мэдэгдэл бөгөөд хүн бүр үүнтэй санал нийлэх болно.
Нотолгоо болгон бид координатын шугамыг дурдаж болно. Дөрөв нь нэгнийхээ баруун талд байгааг харуулж байна
Энэ тохиолдолд хэрэв хүсвэл хэрэглэж болох дүрэм бас бий. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.
Хоёр эерэг тооноос модуль нь их байх тоо нь илүү байна.
Аль тоо их, аль нь бага вэ гэсэн асуултанд хариулахын тулд эхлээд эдгээр тооны модулиудыг олж, эдгээр модулиудыг харьцуулж, дараа нь асуултанд хариулах хэрэгтэй.
Жишээлбэл, дээрх дүрмийг ашиглан 4 ба 1-ийн ижил тоог харьцуулна уу
Тоонуудын модулиудыг олох нь:
|4| = 4
|1| = 1
Олдсон модулиудыг харьцуулж үзье:
4 > 1
Бид асуултанд хариулдаг:
4 > 1
Сөрөг тоонуудын хувьд өөр нэг дүрэм байдаг бөгөөд энэ нь дараах байдалтай байна.
Хоёр сөрөг тооноос модуль нь бага байгаа тоо нь их байна.
Жишээлбэл, −3 ба −1 тоонуудыг харьцуул
Тоонуудын модулиудыг олох
|−3| = 3
|−1| = 1
Олдсон модулиудыг харьцуулж үзье:
3 > 1
Бид асуултанд хариулдаг:
−3 < −1
Тооны модулийг тухайн тоотой андуурч болохгүй. Олон шинэ хүмүүсийн гаргадаг нийтлэг алдаа. Жишээлбэл, −3-ийн модуль нь −1-ийн модулиас их бол −3 нь −1-ээс их гэсэн үг биш юм.
−3 тоо нь −1 тооноос бага. Хэрэв бид координатын шугамыг ашиглавал үүнийг ойлгож болно
−3 тоо нь −1-ээс зүүн талд байрлаж байгааг харж болно. Мөн зүүн тийшээ явах тусам бага гэдгийг бид мэднэ.
Хэрэв та сөрөг тоог эерэг тоотой харьцуулбал хариулт нь өөрөө санал болгоно. Аливаа сөрөг тоо нь эерэг тооноос бага байх болно. Жишээлбэл, −4 нь 2-оос бага
−4 нь 2-оос илүү зүүн талд оршдог нь харагдаж байна. Мөн бид “зүүн тийшээ хол байх тусмаа бага” гэдгийг мэднэ.
Энд юуны түрүүнд тоонуудын шинж тэмдгийг харах хэрэгтэй. Тооны өмнө хасах тэмдэг нь сөрөг байгааг илтгэнэ. Хэрэв тооны тэмдэг байхгүй бол эерэг тоо байна, гэхдээ та үүнийг тодорхой болгохын тулд бичиж болно. Энэ бол нэмэх тэмдэг гэдгийг санаарай
Жишээ болгон бид −4, −3 −1, 2 хэлбэрийн бүхэл тоонуудыг авч үзсэн. Ийм тоог харьцуулах, түүнчлэн координатын шулуун дээр дүрслэх нь тийм ч хэцүү биш юм.
Бутархай, холимог тоо, аравтын бутархай зэрэг бусад төрлийн тоог харьцуулах нь хамаагүй хэцүү бөгөөд зарим нь сөрөг байдаг. Ийм тоог координатын шугам дээр үнэн зөв дүрслэх нь үргэлж боломжгүй байдаг тул энд та үндсэн дүрмийг баримтлах хэрэгтэй болно. Зарим тохиолдолд харьцуулах, ойлгоход хялбар болгохын тулд тоо хэрэгтэй болно.
Жишээ 1.Рационал тоонуудыг харьцуул
Тиймээс сөрөг тоог эерэг тоотой харьцуулах хэрэгтэй. Аливаа сөрөг тоо нь эерэг тооноос бага байна. Тиймээс бид цаг хугацаа алдахгүйгээр бага байна гэж хариулдаг
Жишээ 2.
Та хоёр сөрөг тоог харьцуулах хэрэгтэй. Хоёр сөрөг тооноос хэмжээ нь бага байгаа нь их байна.
Тоонуудын модулиудыг олох нь:
Олдсон модулиудыг харьцуулж үзье:
Жишээ 3. 2.34 ба тоонуудыг харьцуул
Та эерэг тоог сөрөг тоотой харьцуулах хэрэгтэй. Аливаа эерэг тоо нь сөрөг тооноос их байна. Тиймээс бид цаг алдахгүйгээр 2.34 нь илүү гэж хариулдаг
Жишээ 4.Рационал тоонуудыг харьцуулах ба
Тоонуудын модулиудыг олох нь:
Бид олсон модулиудыг харьцуулна. Гэхдээ эхлээд харьцуулахад хялбар болгохын тулд тэдгээрийг тодорхой хэлбэрт оруулъя, тухайлбал бид тэдгээрийг буруу бутархай болгон хувиргаж, нийтлэг хуваагч руу аваачъя.
Дүрмийн дагуу хоёр сөрөг тооноос модуль нь бага байгаа тоо нь их байна. Энэ нь тоон модуль нь тухайн тооны модулиас бага учраас рациональ нь -ээс их байна гэсэн үг
Жишээ 5.
Та тэгийг сөрөг тоотой харьцуулах хэрэгтэй. Тэг нь ямар ч сөрөг тооноос их, тиймээс бид цаг алдахгүйгээр 0-ээс их гэж хариулдаг
Жишээ 6. 0 ба рационал тоонуудыг харьцуул
Та тэгийг эерэг тоотой харьцуулах хэрэгтэй. Тэг нь ямар ч эерэг тооноос бага тул цаг алдахгүйгээр 0 нь бага гэж хариулдаг
Жишээ 7. 4.53 ба 4.403 рационал тоонуудыг харьцуул
Та хоёр эерэг тоог харьцуулах хэрэгтэй. Хоёр эерэг тооноос модуль нь их байх тоо нь илүү байна.
Хоёр бутархайн аравтын бутархайн дараах цифрүүдийн тоог ижил болгоё. Үүнийг хийхийн тулд 4.53-ийн бутархай хэсэгт бид төгсгөлд нэг тэг нэмнэ
Тоонуудын модулиудыг олох
Олдсон модулиудыг харьцуулж үзье:
Дүрмийн дагуу хоёр эерэг тооноос үнэмлэхүй утга нь их байгаа тоо нь илүү байна. Энэ нь 4.53-ын модуль нь 4.403-аас их учраас 4.53 оновчтой тоо нь 4.403-аас их гэсэн үг юм.
Жишээ 8.Рационал тоонуудыг харьцуулах ба
Та хоёр сөрөг тоог харьцуулах хэрэгтэй. Хоёр сөрөг тооноос модуль нь бага байгаа тоо нь их байна.
Тоонуудын модулиудыг олох нь:
Бид олсон модулиудыг харьцуулна. Гэхдээ эхлээд харьцуулахад хялбар болгохын тулд тэдгээрийг тодорхой хэлбэрт оруулъя, тухайлбал бид холимог тоог буруу бутархай болгон хувиргаж, дараа нь бид хоёр бутархайг нийтлэг хуваагч руу аваачна.
Дүрмийн дагуу хоёр сөрөг тооноос модуль нь бага байгаа тоо нь их байна. Энэ нь тоон модуль нь тухайн тооны модулиас бага учраас рациональ нь -ээс их байна гэсэн үг
Аравтын бутархайг харьцуулах нь бутархай болон холимог тоонуудыг харьцуулахаас хамаагүй хялбар юм. Зарим тохиолдолд ийм бутархайн хэсгийг бүхэлд нь харснаар аль бутархай том, аль нь бага вэ гэсэн асуултад шууд хариулж болно.
Үүнийг хийхийн тулд та бүхэл бүтэн хэсгүүдийн модулиудыг харьцуулах хэрэгтэй. Энэ нь даалгаврын асуултанд хурдан хариулах боломжийг танд олгоно. Эцсийн эцэст, та бүхний мэдэж байгаагаар аравтын бутархайн бүхэл хэсгүүд бутархай хэсгүүдээс илүү жинтэй байдаг.
Жишээ 9. 15.4 ба 2.1256 рационал тоонуудыг харьцуул
Бутархайн бүх хэсгийн модуль нь бутархайн бүх хэсгийн модуль 2.1256-аас 15.4 их байна.
тиймээс 15.4-ийн бутархай нь 2.1256-аас их байна
15,4 > 2,1256
Өөрөөр хэлбэл, 15.4-ийн бутархай дээр тэг нэмж, гарсан бутархайг энгийн тоонууд шиг харьцуулж цаг үрэх шаардлагагүй байсан.
154000 > 21256
Харьцуулах дүрэм ижил хэвээр байна. Манай тохиолдолд бид эерэг тоонуудыг харьцуулсан.
Жишээ 10.−15.2 ба −0.152 рационал тоог харьцуул
Та хоёр сөрөг тоог харьцуулах хэрэгтэй. Хоёр сөрөг тооноос модуль нь бага байгаа тоо нь их байна. Гэхдээ бид зөвхөн бүхэл хэсгүүдийн модулиудыг харьцуулах болно
Бутархайн бүх хэсгийн модуль нь бутархайн бүх хэсгийн модулиас −0.152-оос −15.2 их байгааг бид харж байна.
−0.152 тооны бүхэл хэсгийн модуль нь −15.2 тооны бүхэл хэсгийн модулиас бага учир рационал −0.152 нь −15.2-оос их байна гэсэн үг.
−0,152 > −15,2
Жишээ 11.−3.4 ба −3.7 рационал тоог харьцуул
Та хоёр сөрөг тоог харьцуулах хэрэгтэй. Хоёр сөрөг тооноос модуль нь бага байгаа тоо нь их байна. Гэхдээ бид зөвхөн бүхэл хэсгүүдийн модулиудыг харьцуулах болно. Гэхдээ асуудал бол бүхэл тоонуудын модулиуд тэнцүү байна:
Энэ тохиолдолд та хуучин аргыг ашиглах хэрэгтэй болно: оновчтой тооны модулиудыг олж, эдгээр модулиудыг харьцуулах.
Олдсон модулиудыг харьцуулж үзье:
Дүрмийн дагуу хоёр сөрөг тооноос модуль нь бага байгаа тоо нь их байна. −3.4 тооны модуль нь −3.7 тооны модулиас бага учир рациональ −3.4 нь −3.7-оос их байна гэсэн үг.
−3,4 > −3,7
Жишээ 12. 0,(3) ба рационал тоонуудыг харьцуул
Та хоёр эерэг тоог харьцуулах хэрэгтэй. Түүнээс гадна үечилсэн бутархайг энгийн бутархайтай харьцуул.
Үе үе 0,(3) бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргаж, бутархайтай харьцуулъя. Үе үе 0,(3) бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргасны дараа бутархай болно.
Тоонуудын модулиудыг олох нь:
Бид олсон модулиудыг харьцуулна. Гэхдээ эхлээд харьцуулахад хялбар болгохын тулд тэдгээрийг ойлгомжтой хэлбэрт оруулъя, тухайлбал нийтлэг хуваагч руу аваачъя: 
Дүрмийн дагуу хоёр эерэг тооноос үнэмлэхүй утга нь их байгаа тоо нь илүү байна. Энэ нь тоон модуль нь 0,(3) тооны модулиас их учир рационал тоо 0,(3)-аас их байна гэсэн үг.
Хичээл таалагдсан уу?
Манай шинэ ВКонтакте группт нэгдэж, шинэ хичээлүүдийн талаар мэдэгдэл хүлээн авч эхлээрэй