Визначення 1. Якщо два числа 1) aі bпри розподілі на pдають той самий залишок r, то такі числа називаються рівнозалишковими або порівнянними за модулем p.
Твердження 1. Нехай pякесь позитивне число. Тоді всяке число aзавжди і до того єдиним способом може бути представлено у вигляді
Але ці числа можна отримати задавши rрівним 0, 1, 2,..., p−1. Отже sp+r=aотримає всі цілі значення.
Покажемо, що це уявлення єдине. Припустимо, що pможна уявити двома способами a=sp+rі a=s 1 p+r 1 . Тоді
 |
 | (2) |
Так як r 1 приймає один із чисел 0,1, ..., p−1, то абсолютне значення r 1 −rменше p. Але з (2) випливає, що r 1 −rкратно p. Отже r 1 =rі s 1 =s.
Число rназивається вирахуваннямчисла aза модулем p(іншими словами, число rназивається залишком від розподілу числа aна p).
Твердження 2. Якщо два числа aі bможна порівняти за модулем p, то a−bділиться на p.
Справді. Якщо два числа aі bможна порівняти за модулем p, то вони при розподілі на pмають один і той же залишок p. Тоді
ділиться на p, т.к. права частина рівняння (3) ділиться на p.
Твердження 3. Якщо різниця двох чисел поділяється на p, то ці числа можна порівняти за модулем p.
Доведення. Позначимо через rі r 1 залишки від розподілу aі bна p. Тоді
 |
Приклади 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).
З першого прикладу випливає, що 25 при розподілі на 7 дає той же залишок, що і 39. Дійсно 25 = 3 · 7 + 4 (залишок 4). 39 = 3 · 7 +4 (залишок 4). При розгляді другого прикладу слід враховувати, що залишок має бути невід'ємним числом, меншим, ніж модуль (тобто 4). Тоді можна записати: −18=−5·4+2 (залишок 2), 14=3·4+2 (залишок 2). Отже -18 при розподілі на 4 дає залишок 2, і 14 при розподілі на 4 дає залишок 2.
Властивості порівнянь по модулю
Властивість 1. Для будь-кого aі pзавжди
не завжди слідує порівняння
де λ це найбільший спільний дільник чисел mі p.
Доведення. Нехай λ найбільший спільний дільник чисел mі p. Тоді
Так як m(a−b)ділиться на k, то
При розв'язанні рівнянь і нерівностей, а також задач з модулями потрібно розташувати знайдене коріння на числовій прямій. Як ти знаєш, знайдене коріння може бути різним. Вони можуть бути такими: , а можуть бути такими: , .
Відповідно, якщо числа не раціональні а ірраціональні (якщо забув що це, шукай у темі), або є складними математичними виразами, то розташувати їх на числовій прямій вельми проблематично. Тим більше, що калькуляторами на іспиті користуватися не можна, а наближений підрахунок не дає 100% гарантій, що одне число менше за інше (раптом різниця між порівнюваними числами?).
Звичайно, ти знаєш, що позитивні цифри завжди більше негативних, і якщо ми представимо числову вісь, то при порівнянні, найбільші числа будуть знаходитися правіше, ніж найменші: ; ; і т.д.
Але чи завжди так легко? Де на числовій осі ми відзначимо, .
Як їх порівняти, наприклад, із числом? Ось у цьому-то і загвоздка...)
Для початку поговоримо загалом як і що порівнювати.
Важливо: перетворення бажано робити такими, щоб знак нерівності не змінювався!Тобто в ході перетворень небажано примножувати на негативне число, та не можназводити квадрат, якщо одна з частин негативна.
Порівняння дробів
Отже, нам необхідно порівняти два дроби: і.
Є кілька варіантів, як це зробити.
Варіант 1. Привести дроби до спільного знаменника.
Запишемо у вигляді звичайного дробу:
- (Як ти бачиш, я також скоротила на чисельник та знаменник).
Тепер нам необхідно порівняти дроби:
Зараз ми можемо продовжити порівнювати також двома способами. Ми можемо:
- просто привести все до спільного знаменника, представивши обидва дроби як неправильні (числитель більший за знаменник):
Яке число більше? Правильно те, у якого чисельник більше, тобто перше.
- «відкинемо» (вважай, що ми з кожного дробу відняли одиницю, і співвідношення дробів один з одним, відповідно, не змінилося) і порівнюватимемо дроби:
Наводимо їх також до спільного знаменника:
Ми отримали абсолютно такий самий результат, як і в попередньому випадку - перше число більше, ніж друге:
Перевіримо також, чи правомірно ми відняли одиницю? Порахуємо різницю в чисельнику при першому розрахунку та другому:
1)
2)
Отже, ми розглянули, як порівнювати дроби, наводячи їх до спільного знаменника. Перейдемо до іншого методу - порівняння дробів, приводячи їх до загального... чисельника.
Варіант 2. Порівняння дробів за допомогою приведення до загального чисельника.
Так Так. Це не помилка. У школі рідко комусь розповідають цей метод, але дуже часто він дуже зручний. Щоб ти швидко зрозумів його суть, поставлю тобі лише одне запитання - «у яких випадках значення дробу найбільше?» Звичайно, ти скажеш "коли чисельник максимально великий, а знаменник максимально маленький".
Наприклад, ти ж точно скажеш, що вірно? Якщо нам треба порівняти такі дроби: ? Думаю, ти теж одночасно правильно поставиш символ, адже в першому випадку ділять на елементів, а в другому на цілих, отже, у другому випадку шматочки виходять дуже дрібні, і відповідно: . Як ти бачиш, знаменники тут різні, а от чисельники однакові. Однак для того, щоб порівняти ці два дроби, тобі не обов'язково шукати спільний знаменник. Хоча… знайди його і подивися, раптом знак порівняння все ж таки неправильний?
А знак той самий.
Повернемося до нашого початкового завдання – порівняти в. Порівнюватимемо в. Наведемо ці дроби не до спільного знаменника, а до спільного чисельника. Для цього просто чисельник та знаменникпершого дробу помножимо на. Отримаємо:
в. Який дріб більший? Правильно, перша.
Варіант 3. Порівняння дробів за допомогою віднімання.
Як порівнювати дроби за допомогою віднімання? Так, дуже просто. Ми з одного дробу віднімаємо інший. Якщо результат виходить позитивним, то перший дріб (зменшується) більший за другий (віднімається), а якщо негативним, то навпаки.
У нашому випадку спробуємо з другого відняти перший дріб: .
Як ти вже зрозумів, ми так само переводимо у звичайний дріб і отримуємо той же результат. Наш вираз набуває вигляду:
Далі нам все одно доведеться вдатися до приведення до спільного знаменника. Питання як: першим способом, перетворюючи дроби на неправильні, або другим, як би «прибираючи» одиницю? До речі, ця дія має цілком математичне обґрунтування. Дивись:
Мені більше подобається другий варіант, тому що перемноження в чисельнику при приведенні до спільного знаменника стає простіше.
Наводимо до спільного знаменника:
Тут головне не заплутатися, скільки і звідки ми забирали. Уважно подивитися хід рішення та випадково не переплутати знаки. Ми забирали від другого числа перше і отримали негативну відповідь, значить?.. Правильно, перше число більше за друге.
Розібрався? Спробуй порівняти дроби:
Стоп, стоп. Не поспішай приводити до спільного знаменника чи віднімати. Подивися: можна легко перевести в десятковий дріб. Скільки це буде? Правильно. Що зрештою більше?
Це ще один варіант – порівняння дробів шляхом приведення до десяткового дробу.
Варіант 4. Порівняння дробів за допомогою розподілу.
Так Так. І так також можна. Логіка проста: коли ми ділимо більше на менше, у відповіді у нас виходить число, більше одиниці, а якщо ми ділимо менше на більше, то відповідь припадає на проміжок від до.
Щоб запам'ятати це правило, візьми для порівняння будь-які два простих числа, наприклад, і. Ти знаєш, що більше? Тепер розділимо на. Наша відповідь - . Відповідно, теорія вірна. Якщо ми розділимо, що ми отримаємо - менше одиниці, що в свою чергу підтверджує, що насправді менше.
Спробуємо застосувати це правило на звичайних дробах. Порівняємо:
Розділимо перший дріб на другий:
Скоротимо на та на.
Отриманий результат менше, значить ділене менше дільника, тобто:
Ми розібрали усі можливі варіанти порівняння дробів. Як ти бачиш їх 5:
- приведення до спільного знаменника;
- приведення до загального чисельника;
- приведення до виду десяткового дробу;
- віднімання;
- розподіл.
Готовий тренуватися? Порівняй дроби оптимальним способом:
Порівняємо відповіді:
- (- Перекласти в десятковий дріб)
- (Поділити один дріб на інший і скоротити на чисельник і знаменник)
- (Виділити цілу частину і порівнювати дроби за принципом однакового чисельника)
- (Поділити один дріб на інший і скоротити на чисельник і знаменник).
2. Порівняння ступенів
Тепер уявімо, що нам необхідно порівняти не просто числа, а вирази, де є ступінь ().
Звичайно, ти легко поставиш знак:
Адже якщо ми замінимо ступінь множенням, ми отримаємо:
З цього маленького та примітивного прикладу випливає правило:
Спробуй тепер порівняти таке: . Ти так само легко поставиш знак:
Тому що, якщо ми замінимо зведення ступінь на множення…
Загалом, ти все зрозумів і це зовсім нескладно.
Складнощі виникають лише тоді, коли при порівнянні у ступенів різні і основи, і показники. В цьому випадку необхідно спробувати привести до загальної основи. Наприклад:
Зрозуміло, ти знаєш, що це, відповідно, вираз набуває вигляду:
Розкриємо дужки і порівняємо те, що вийде:
Дещо особливий випадок, коли основа ступеня () менше одиниці.
Якщо, то з двох ступенів і більша та, показник якої менший.
Спробуємо довести це правило. Нехай.
Введемо деяке натуральне число, як різницю між і.
Логічно, чи не так?
А тепер ще раз звернемо увагу на умову -.
Відповідно: . Отже, .
Наприклад:
Як ти зрозумів, ми розглянули випадок, коли рівні рівнів. Тепер подивимося, коли основа знаходиться в проміжку від до, але рівні показники ступеня. Тут усе дуже просто.
Запам'ятаємо, як це порівнювати на прикладі:
Звичайно, ти швидко порахував:
Тому, коли тобі будуть траплятися схожі завдання для порівняння, тримай у голові якийсь простий аналогічний приклад, який ти можеш швидко прорахувати, і на основі цього прикладу проставляй знаки у складнішому.
Виконуючи перетворення, пам'ятай, що якщо ти домножуєш, складаєш, віднімаєш або ділиш, то всі дії необхідно робити і з лівої і з правою частиною (якщо ти множиш на, то множити необхідно і те, й інше).
Крім цього, бувають випадки, коли робити якісь маніпуляції просто невигідно. Наприклад, тобі треба порівняти. В даному випадку, не так складно звести в ступінь, і розставити знак, виходячи з цього:
Давай потренуємось. Порівняй ступеня:
Готовий порівнювати відповіді? Ось що в мене вийшло:
- - те саме, що
- - те саме, що
- - те саме, що
- - те саме, що
3. Порівняння чисел з коренем
Для початку пригадаємо, що таке коріння? Ось цей запис пам'ятаєш?
Коренем ступеня із дійсного числа називається таке число, для якого виконується рівність.
Коріннянепарною мірою існують для негативних і позитивних чисел, а коріння парного ступеня- Тільки для позитивних.
Значенням кореня часто є нескінченний десятковий дріб, що ускладнює його точне обчислення, тому важливо вміти порівнювати коріння.
Якщо ти призабув, що це таке і з чим його їдять. Якщо все пам'ятаєш – давай вчитися поетапно порівнювати коріння.
Допустимо, нам необхідно порівняти:
Щоб порівняти ці два корені, не потрібно робити жодних обчислень, просто проаналізуй саме поняття «корінь». Зрозумів, про що я говорю? Та ось про це: інакше можна записати як третій ступінь якогось числа, що дорівнює підкореному виразу.
А що більше? чи? Це ти, звичайно, порівняєш без жодних труднощів. Чим більше ми зводимо в ступінь, тим більше буде значення.
Отже. Виведемо правило.
Якщо показники ступеня коренів однакові (у разі це), необхідно порівнювати підкорені вирази (і) - що більше підкорене число, то більше значення кореня при рівних показниках.
Важко запам'ятати? Тоді просто тримай у голові приклад і. Що більше?
Показники ступеня коріння однакові, оскільки корінь квадратний. Підкорене вираз одного числа () більше за інше (), значить, правило дійсно вірне.
А що, якщо підкорені вирази однакові, а от ступеня коріння різні? Наприклад: .
Теж цілком зрозуміло, що з добуванні кореня більшою мірою вийде менше число. Візьмемо для прикладу:
Позначимо значення першого кореня як, а другого як, то:
Ти легко бачиш, що в цих рівняннях має бути більше, отже:
Якщо підкорені вирази однакові(у нашому випадку), а показники ступеня коріння різні(У нашому випадку це і), то необхідно порівнювати показники ступеня(і) - чим більший показник, тим менший цей вираз.
Спробуй порівняти наступне коріння:
Порівняємо отримані результати?
Із цим благополучно розібралися:). Виникає інше питання: а що, якщо у нас все різне? І ступінь, і підкорене вираз? Не все так складно нам потрібно всього-на-всього ... «позбутися» кореня. Так Так. Саме позбутися)
Якщо у нас різні і ступені та підкорені вирази, необхідно знайти найменше загальне кратне (читай розділ про ) для показників коренів і звести обидва вирази в ступінь, що дорівнює найменшому загальному кратному.
Що ми всі на словах та на словах. Наведемо приклад:
- Дивимося показники коренів – в. Найменше загальне кратне у них - .
- Зведемо обидва вирази в ступінь:
- Перетворимо вираз і розкриємо дужки (докладніше у розділі):
- Вважаємо, що в нас вийшло, і поставимо знак:
4. Порівняння логарифмів
Ось так, повільно, але вірно, ми підійшли до питання як порівнювати логарифми. Якщо ти не пам'ятаєш, що це за звір такий, раджу для початку прочитати теорію з розділу. Прочитав? Тоді дай відповідь на кілька важливих питань:
- Що називається аргументом логарифму, а що його основою?
- Від чого залежить, чи зростає функція чи зменшується?
Якщо все пам'ятаєш і добре засвоїв - приступаємо!
Для того, щоб порівнювати логарифми між собою, необхідно знати лише 3 прийоми:
- приведення до однакової основи;
- приведення до однакового аргументу;
- порівняння із третім числом.
Спочатку зверніть увагу на підставу логарифму. Ти пам'ятаєш, що якщо вона менша, то функція зменшується, а якщо більше, то зростає. Саме на цьому будуть засновані наші судження.
Розглянемо порівняння логарифмів, які вже приведені до однакової основи або аргументу.
Для початку спростимо завдання: нехай у порівнюваних логарифмах рівні підстави. Тоді:
- Функція, коли зростає на проміжку від, означає за визначенням, то («пряме порівняння»).
- Приклад:- підстави однакові, відповідно порівнюємо аргументи: , отже:
- Функція, при, зменшується на проміжку від, значить за визначенням, то («зворотне порівняння»). - підстави однакові, відповідно порівнюємо аргументи: , проте, знак у логарифмів буде «зворотний», оскільки функція зменшується: .
Тепер розглянемо випадки, коли основи різні, але однакові аргументи.
- Підстава більша.
- . І тут використовуємо «зворотне порівняння». Наприклад: - аргументи однакові, в. Порівнюємо підстави: однак, знак у логарифмів буде «зворотний»:
- Основа знаходиться в проміжку.
- . І тут використовуємо «пряме порівняння». Наприклад:
- . І тут використовуємо «зворотне порівняння». Наприклад:
Запишемо все у загальному табличному вигляді:
| , при цьому | , при цьому | |
Відповідно, як ти вже зрозумів, при порівнянні логарифмів нам необхідно привести до однакової основи, або аргументу, До однакової основи ми приходимо, використовуючи формулу переходу від однієї основи до іншої.
Можна також порівнювати логарифми з третім числом і на підставі цього робити висновок, що менше, а що більше. Наприклад, подумай, як порівняти ці два логарифми?
Невелика підказка - для порівняння тобі дуже допоможе логарифм, аргумент якого дорівнюватиме.
Подумав? Давай вирішувати разом.
Ми легко порівняємо з тобою ці два логарифми:
Не знаєш, як? Дивись вище. Ми щойно це розбирали. Який знак там буде? Правильно:
Згоден?
Порівняємо між собою:
У тебе має вийти таке:
А тепер поєднай усі наші висновки в один. Вийшло?
5. Порівняння тригонометричних виразів.
Що таке синус, косинус, тангенс, котангенс? Для чого потрібне одиничне коло і як на ньому знайти значення тригонометричних функцій? Якщо ти не знаєш відповіді на ці запитання, дуже рекомендую тобі прочитати теорію на цю тему. А якщо знаєш, то порівняти тригонометричні вирази між собою для тебе не складає труднощів!
Трохи освіжимо пам'ять. Намалюємо одиничне тригонометричне коло і вписаний у неї трикутник. Впорався? Тепер відзнач, з якого боку у нас відкладається косинус, а з якого синус, використовуючи сторони трикутника. (Ти, звичайно пам'ятаєш, що синус, це ставлення протилежної сторони до гіпотенузи, а косинус прилеглої?). Намалював? Чудово! Останній штрих – простав, де в нас буде, де і так далі. Проставив? Фух) Порівнюємо, що вийшло у мене та в тебе.
Фух! А тепер приступаємо до порівняння!
Припустимо, нам необхідно порівняти в. Намалюй ці кути, використовуючи підказки у рамочках (де у нас зазначено, де), відкладаючи крапки на одиничному колі. Впорався? Ось що в мене вийшло.
Тепер опустимо перпендикуляр із точок, відмічених нами на колі на вісь… Яку? Яка вісь показує значення синусів? Правильно, . Ось що в тебе має вийти:
Дивлячись на цей малюнок, що більше: чи? Звичайно, адже точка знаходиться вище за точку.
Аналогічним чином ми порівнюємо значення косінусів. Тільки перпендикуляр ми опускаємо на вісь… Правильно. Відповідно, дивимося, яка точка знаходиться правіше (ну чи вище, як у випадку з синусами), то значення і більше.
Мабуть, ти вже здогадуєшся, як порівнювати тангенси, правда? Все, що потрібно, знати, що таке тангенс. Так що таке тангенс?) Правильно, ставлення синуса до косінус.
Щоб порівняти тангенси, ми так само малюємо кут, як і в попередньому випадку. Допустимо, нам необхідно порівняти:
Намалював? Тепер також відзначаємо значення синуса на координатній осі. Помітив? А тепер вкажи значення косинуса на координатній прямій. Вийшло? Давай порівняємо:
А тепер проаналізуй написане. – Ми великий відрізок ділимо на маленький. У відповіді буде значення, яке точно більше одиниці. Правильно?
А у ми маленький ділимо на великий. У відповіді буде число, яке точно менше одиниці.
То значення якого тригонометричного виразу більше?
Правильно:
Як ти тепер розумієш, порівняння котангенсів - те саме, тільки навпаки: ми дивимося, як ставляться один до одного відрізки, що визначають косинус і синус.
Спробуй самостійно порівняти такі тригонометричні вирази:
приклади.
Відповіді.
ПОРІВНЯННЯ ЧИСЕЛ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ.
Яке із чисел більше: чи? Відповідь очевидна. А тепер: чи? Вже не так очевидно, правда? А так: чи?
Часто потрібно знати, який із числових виразів більший. Наприклад, щоб при розв'язанні нерівності розставити крапки на осі у правильному порядку.
Зараз навчу тебе порівнювати такі цифри.
Якщо треба порівняти числа і між ними ставимо знак (походить від латинського слова Versus або скорочено vs. - Проти): . Цей знак замінює невідомий знак нерівності (). Далі будемо виконувати тотожні перетворення доти, доки стане ясно, який саме знак потрібно поставити між числами.
Суть порівняння чисел полягає в наступному: ми ставимося до знака так, ніби це якийсь знак нерівності. І з виразом ми можемо робити все те, що робимо зазвичай з нерівностями:
- додати будь-яке число до обох частин (і відняти, звичайно, теж можемо)
- «перенести все в один бік», тобто відняти з обох частин один із порівнюваних виразів. На місці віднімання виразу залишиться: .
- домножувати чи ділити одне й те число. Якщо це число негативне, символ нерівності змінюється протилежний: .
- зводити обидві частини в один і той самий ступінь. Якщо цей ступінь – парний, необхідно переконатися, що обидві частини мають однаковий знак; якщо обидві частини позитивні, при зведенні в ступінь знак не змінюється, і якщо негативні, тоді змінюється протилежний.
- витягти корінь однакового ступеня з обох частин. Якщо витягаємо корінь парного ступеня, необхідно попередньо переконатися, що обидва вирази невід'ємні.
- будь-які інші рівносильні перетворення.
Важливо: перетворення бажано робити такими, щоб знак нерівності не змінювався! Тобто в ході перетворень небажано примножувати на негативне число, і не можна зводити до квадрата, якщо одна з частин негативна.
Розберемо кілька типових ситуацій.
1. Зведення на ступінь.
приклад.
Що більше: чи?
Рішення.
Оскільки обидві частини нерівності позитивні, можемо звести в квадрат, щоб позбавитися кореня:
приклад.
Що більше: чи?
Рішення.
Тут теж можемо звести в квадрат, але це нам допоможе позбавитися тільки квадратного кореня. Тут треба зводити в такий ступінь, щоб обидва корені зникли. Отже, показник цього ступеня повинен ділитися і (ступінь першого кореня), і. Таким числом є, отже, зводимо в -ю ступінь:
2. Множення на сполучене.
приклад.
Що більше: чи?
Рішення.
Домножимо і розділимо кожну різницю на сполучену суму:
Очевидно, що знаменник у правій частині більший за знаменник у лівій. Тому правий дріб менше лівого:
3. Віднімання
Згадаймо, що.
приклад.
Що більше: чи?
Рішення.
Звичайно, ми могли б звести все в квадрат, перегрупувати і знову звести в квадрат. Але можна вчинити хитріше:
Видно, що у лівій частині кожне доданок менше кожного доданку, що у правій частині.
Відповідно, сума всіх доданків, що перебувають у лівій частині, менша від суми всіх доданків, що перебувають у правій частині.
Але будь уважним! У нас питали що більше...
Права частина більша.
приклад.
Порівняйте числа і.
Рішення.
Згадуємо формули тригонометрії:
Перевіримо, у яких чвертях на тригонометричному колі лежать точки і.
4. Розподіл.
Тут також використовуємо просте правило: .
При або, тобто.
При знак змінюється: .
приклад.
Виконай порівняння: .
Рішення.
5. Порівняйте числа з третім числом
Якщо і, то (закон транзитивності).
приклад.
Порівняйте.
Рішення.
Порівняємо числа не один з одним, а з числом.
Очевидно, що.
З іншого боку, .
приклад.
Що більше: чи?
Рішення.
Обидва числа більші, але менші. Підберемо таке число, щоб воно було більше одного, але менше за інше. Наприклад, . Перевіримо:
6. Що робити з логарифмами?
Нічого особливого. Як позбавлятися логарифмів, докладно описано в темі . Основні правила такі:
\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(при))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(при))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wedge y\;(\rm(при))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]
Також можемо додати правило про логарифми з різними підставами та однаковим аргументом:
Пояснити його можна так: чим більше підстава, тим менший ступінь його доведеться звести, щоб отримати один і той же. Якщо ж підстава менша, то все навпаки, тому що відповідна функція монотонно спадає.
приклад.
Порівняйте числа: і.
Рішення.
Відповідно до вищеописаних правил:
А тепер формула для сучасних.
Правило порівняння логарифмів можна записати і коротше:
приклад.
Що більше: чи?
Рішення.
приклад.
Порівняйте, яке з чисел більше: .
Рішення.
ПОРІВНЯННЯ ЧИСЕЛ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ
1. Зведення у ступінь
Якщо обидві частини нерівності позитивні, їх можна звести в квадрат, щоб позбавитися кореня
2. Множення на сполучене
Сполученим називається множник, що доповнює вираз до формули різниці квадратів: - Сполучене для і навпаки, т.к. .
3. Віднімання
4. Поділ
При або тобто
При змінюється:
5. Порівняння з третім числом
Якщо і, то
6. Порівняння логарифмів
Основні правила:
Логарифми з різними підставами та однаковим аргументом:
Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.
Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!
Тепер найголовніше.
Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.
Проблема в тому, що цього не вистачить.
Для чого?
Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.
Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…
Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.
Але й це – не головне.
Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...
Але, думай сам...
Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?
Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.
На іспиті в тебе не питатимуть теорію.
Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.
І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.
Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.
Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!
Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.
Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.
Як? Є два варіанта:
- Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
- Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 899 руб
Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.
Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.
І на закінчення...
Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.
"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.
Знайди завдання та вирішуй!
ПЕРВУШКІН БОРИС МИКОЛАЄВИЧ
ЧОУ «Санкт-Петербурзька Школа «Тет-а-Тет»
Вчитель Математики Вищої категорії
Порівняння чисел за модулем
Визначення 1. Якщо два числа1 ) aіbпри розподілі наpдають той самий залишокr, то такі числа називаються рівнозалишковими абопорівнянними за модулем p.
Твердження 1. Нехайpякесь позитивне число. Тоді всяке числоaзавжди і до того єдиним способом може бути представлено у вигляді
| a=sp+r, | (1) |
деs- Число, іrодне з чисел 0,1, ...,p−1.
1 ) У цій статті під словом число будемо розуміти ціле число.
Справді. Якщоsотримає значення від −∞ до +∞, то числаspє сукупністю всіх чисел, кратнихp. Розглянемо числа міжspі (s+1) p=sp+p. Так якpціле позитивне число, то міжspіsp+pзнаходяться числа
Але ці числа можна отримати задавшиrрівним 0, 1, 2,...,p−1. Отжеsp+r=aотримає всі цілі значення.
Покажемо, що це уявлення єдине. Припустимо, щоpможна уявити двома способамиa=sp+rіa=s1 p+ r1 . Тоді
або
| (2) |
Так якr1 приймає один із чисел 0,1, ...,p−1, то абсолютне значенняr1 − rменшеp. Але з (2) випливає, щоr1 − rкратноp. Отжеr1 = rіs1 = s.
Числоrназиваєтьсявирахуванням числаaза модулемp(іншими словами, числоrназивається залишком від розподілу числаaнаp).
Твердження 2. Якщо два числаaіbможна порівняти за модулемp, тоa−bділиться наp.
Справді. Якщо два числаaіbможна порівняти за модулемp, то вони при розподілі наpмають один і той же залишокp. Тоді
деsіs1 деякі цілі числа.
Різниця цих чисел
| (3) |
ділиться наp, т.к. права частина рівняння (3) ділиться наp.
Твердження 3. Якщо різниця двох чисел поділяється наp, то ці числа можна порівняти за модулемp.
Доведення. Позначимо черезrіr1 залишки від розподілуaіbнаp. Тоді
звідки
За твердженнямa−bділиться наp. Отжеr− r1 теж ділиться наp. Але т.к.rіr1 числа 0,1,...,p−1, то абсолютне значення |r− r1 |< p. Тоді, для того, щобr− r1 ділився наpмає виконуватися умоваr= r1 .
Зі твердження випливає, що порівняні числа - це такі числа, різниця яких поділяється на модуль.
Якщо потрібно записати, що числаaіbможна порівняти між собою за модулемp, то користуються позначенням (введеним Гаусом):
| a≡bmod(p) |
Приклади 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).
З першого прикладу випливає, що 25 при розподілі на 7 дає той же залишок, що і 39. Дійсно 25 = 3 · 7 + 4 (залишок 4). 39 = 3 · 7 +4 (залишок 4). При розгляді другого прикладу слід враховувати, що залишок має бути невід'ємним числом, меншим, ніж модуль (тобто 4). Тоді можна записати: −18=−5·4+2 (залишок 2), 14=3·4+2 (залишок 2). Отже -18 при розподілі на 4 дає залишок 2, і 14 при розподілі на 4 дає залишок 2.
Властивості порівнянь по модулю
Властивість 1. Для будь-когоaіpзавжди
| a≡amod (p). |
Властивість 2. Якщо два числаaіcможна порівняти з числомbза модулемp, тоaіcможна порівняти між собою з того ж модулю, тобто. якщо
| a≡bmod (p), b≡cmod (p). |
то
| a≡cmod (p). |
Справді. З умови властивості 2 випливаєa−bіb−cподіляються наp. Тоді їхня сумаa−b+(b−c)=a−cтакож поділяється наp.
Властивість 3. Якщо
| a≡bmod (p) іm≡nmod (p), |
то
| a+m≡b+nmod (p) іa−m≡b−nmod (p). |
Справді. Так якa−bіm−nподіляються наp, то
| ( a−b)+ ( m−n)=( a+m)−( b+n) , |
| ( a−b)−( m−n)=( a−m)−( b−n) |
також поділяються наp.
Цю властивість можна поширити на будь-яке число порівнянь, що мають один і той же модуль.
Властивість 4. Якщо
| a≡bmod (p) іm≡nmod (p), |
то
Даліm−nділиться наp, отжеb(m−n)=bm−bnтакож поділяється наp, значить
| bm≡bnmod (p). |
Таким чином два числаamіbnможна порівняти за модулем з тим самим числомbm, отже вони можна порівняти між собою (властивість 2).
Властивість 5. Якщо
| a≡bmod (p). |
то
| ak≡bkmod (p). |
деkдеяке невід'ємне ціле число.
Справді. Маємоa≡bmod (p). З якості 4 випливає
| ................. |
| ak≡bkmod (p). |
Усі властивості 1-5 у наступному твердженні:
Твердження 4. Нехайf( x1 , x2 , x3 , ...) ціла раціональна функція з цілими коефіцієнтами і нехай
| a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 , a3 ≡ b3 , ... mod (p). |
тоді
| f( a1 , a2 , a3 , ...)≡ f( b1 , b2 , b3 , ...) mod (p). |
При поділі все інакше. Зі порівняння
Твердження 5. Нехай
деλ ценайбільший спільний дільникчиселmіp.
Доведення. Нехайλ найбільший спільний дільник чиселmіp. Тоді
Так якm(a−b)ділиться наk, то
має нульовий залишок, тобто.m1 ( a−b) ділиться наk1 . Але числаm1 іk1 числа взаємно прості. Отжеa−bділиться наk1 = k/λі тоді,p,q,s.
Справді. Різницяa≡bмає бути числом, кратнимp,q,s.і, отже, має бути кратнимh.
В окремому випадку, якщо модуліp,q,sвзаємно прості числа, то
| a≡bmod (h), |
деh = pqs.
Зауважимо, що можна припустити порівняння по негативним модулям, тобто. порівнянняa≡bmod (p) означає і в цьому випадку, що різницяa−bділиться наp. Усі властивості порівнянь залишаються у силі й у негативних модулів.
Для двох цілих числа хі увведемо відношення порівнянності парності, якщо їх різниця - парне число. Легко перевірити, що при цьому виконуються всі три раніше введені умови еквівалентності. Введене таким чином відношення еквівалентності розбиває всі безліч цілих чисел на два підмножини, що не перетинаються: підмножина парних чисел і підмножина непарних чисел.
Узагальнюючи цей випадок, будемо говорити, що два цілих числа, що відрізняються на кратне якогось фіксованого натурального числа, еквівалентні. На цьому ґрунтується поняття порівнянності по модулю, введене Гаусом.
Число а, порівняно з bза модулем m, якщо їхня різниця ділиться на фіксоване натуральне число m, тобто а - bділиться на m. Символічно це записується у вигляді:
а ≡ b(mod m),
а читається так: апорівняно з bза модулем m.
Введене таким чином ставлення завдяки глибокій аналогії між порівняннями і рівностями спрощує обчислення, в яких числа, що відрізняються на кратне m, практично не відрізняються (оскільки порівняння є рівність з точністю до деякого кратного m).
Наприклад, числа 7 і 19 можна порівняти за модулем 4, але не порівняти за модулем 5, т.к. 19-7=12 ділиться на 4 і ділиться на 5.
Можна сказати також, що число хза модулем mі залишку від поділу націло числа хна m, так як
x = km + r, r = 0, 1, 2, ..., m-1.
Легко перевірити, що порівняльність чисел по даному модулю має всі властивості еквівалентності. Тому безліч цілих чисел розбивається на класи чисел, які можна порівняти між собою за модулем m. Число таких класів дорівнює m, і всі числа одного класу при розподілі на mдають той самий залишок. Наприклад, якщо m= 3, то виходить три класи: клас чисел, кратних 3 (що дають при розподілі на 3 залишок 0), клас чисел, що дають при розподілі на 3 залишок 1, клас чисел, що дають при розподілі на 3 залишок 2.
Приклади використання порівнянь доставляють добре відомі ознаки ділимості. Звичайне уявлення числа nцифрами у десятковій системі числення має вигляд:
n = c10 2 + b10 1 + a10 0,
де а, b, с,- цифри числа, записані праворуч наліво, так що а- Число одиниць, b- Чисельність десятків і т.д. Оскільки 10 k ≡ 1(mod9) при будь-якому к≥0, то з написаного випливає, що
n ≡ c + b + a(mod9),
звідки випливає ознака подільності на 9: nділиться на 9 і тоді, коли сума його цифр ділиться на 9. Ця міркування проходить також і за заміні 9 на 3.
Отримаємо ознаку подільності на 11. Мають місце порівняння:
10≡- 1(mod11), 10 2 ≡ 1(mod11) 10 3 ≡- 1(mod11), і таке інше. Тому n ≡ c - b + a - ….(Mod11).
Отже, nділиться на 11 тоді і лише тоді, коли знакозмінна сума його цифр а - b + с - ділиться на 11.
Наприклад, знакозмінна сума цифр числа 9581 є 1 - 8 + 5 - 9 = -11, вона ділиться на 11, отже, і число 9581 ділиться на 11.
Якщо мають місця порівняння: , їх можна почленно складати, віднімати і перемножувати як і, як і рівності:
Порівняння завжди можна помножити на ціле число:
якщо то
Однак скорочення порівняння на який-небудь множник не завжди можливе, Наприклад, але не можна зробити скорочення на загальний для чисел 42 і 12 множник 6; таке скорочення призводить до невірного результату, оскільки .
З визначення порівнянності по модулю слід, що скорочення на множник припустимо, якщо цей множник взаємно простий із модулем.
Вище було вже зазначено, що будь-яке ціле число можна порівняти за mod mз одним із наступних чисел: 0, 1, 2,..., m-1.
Крім цього ряду, є й інші ряди чисел, що мають ту саму властивість; так, наприклад, будь-яке число порівняно з mod 5 з одним з наступних чисел: 0, 1, 2, 3, 4, але так само порівняно з одним з наступних чисел: 0, -4, -3, -2, -1, або 0, 1, -1, 2, -2. Будь-який такий ряд чисел називається повною системою відрахувань за модулем 5.
Таким чином, повною системою відрахувань по mod mназивається будь-який ряд з mчисел, жодні з яких незрівнянні друг з одним. Зазвичай використовується повна система відрахувань, що складається з чисел: 0, 1, 2, ..., m-1. Вирахуванням числа nза модулем mє залишок від розподілу nна m, що випливає з уявлення n = km + r, 0<r<m- 1.
Продовжуємо вивчати раціональні числа. У цьому уроці ми навчимося порівнювати їх.
З попередніх уроків ми дізналися, що чим правіше число розташовується на координатній прямій, тим більше. І відповідно, чим лівіше розташовується число на координатній прямій, тим менше.
Наприклад, якщо порівнювати числа 4 і 1, можна відразу відповісти, що 4 більше ніж 1. Це цілком логічне твердження і кожен із цим погодиться.
Як доказ можна навести координатну пряму. На ній видно, що четвірка лежить правіше за одиницю
Для цього випадку є правило, яке за бажання можна використовувати. Виглядає воно так:
З двох позитивних чисел більше число, модуль якого більше.
Щоб відповісти на запитання, яке число більше, а яке менше, спочатку потрібно знайти модулі цих чисел, порівняти ці модулі, а потім уже відповісти на запитання.
Наприклад, порівняємо ті ж числа 4 і 1, застосовуючи вищенаведене правило
Знаходимо модулі чисел:
|4| = 4
|1| = 1
Порівнюємо знайдені модулі:
4 > 1
Відповідаємо на запитання:
4 > 1
Для негативних чисел існує інше правило, виглядає воно так:
З двох негативних чисел більше те число, модуль якого менший.
Наприклад, порівняємо числа −3 та −1
Знаходимо модулі чисел
|−3| = 3
|−1| = 1
Порівнюємо знайдені модулі:
3 > 1
Відповідаємо на запитання:
−3 < −1
Не можна плутати модуль числа із самим числом. Часта помилка багатьох новачків. Наприклад, якщо модуль числа −3 більший, ніж модуль числа −1, це означає, що число −3 більше, ніж число −1.
Число −3 менше, ніж число −1 . Це можна зрозуміти, якщо скористатися координатною прямою
Видно, що число −3 лежить ліворуч, ніж −1 . А ми знаємо, що чим лівіше, тим менше.
Якщо порівнювати негативне число з позитивним, то відповідь напрошуватиметься сама. Будь-яке негативне число буде менше будь-якого позитивного числа. Наприклад, −4 менше, ніж 2
Видно, що −4 лежить ліворуч, ніж 2. А ми знаємо, що «чим лівіше, тим менше».
Тут насамперед потрібно дивитися на знаки чисел. Мінус перед числом говоритиме про те, що число є негативним. Якщо знак числа відсутній, то число є позитивним, але ви можете записати його для наочності. Нагадаємо, що це знак плюса
Ми розглянули як приклад цілі числа, виду −4, −3 −1, 2. Порівняти такі числа, а також зобразити на координатній прямій нескладно.
Набагато складніше порівнювати інші види чисел, такі як звичайні дроби, змішані числа та десяткові дроби, деякі з яких є негативними. Тут уже в основному доведеться застосовувати правила, тому що точно зобразити такі числа на координатній прямій не завжди можливо. У деяких випадках число треба буде зробити його більш простим для порівняння і сприйняття.
приклад 1.Порівняти раціональні числа
Отже, потрібно порівняти негативне число із позитивним. Будь-яке негативне число менше від будь-якого позитивного числа. Тому не гаючи часу відповідаємо, що менше, ніж
приклад 2.
Потрібно порівняти два негативні числа. З двох негативних чисел більше, модуль якого менше.
Знаходимо модулі чисел:
Порівнюємо знайдені модулі:
приклад 3.Порівняти числа 2,34 і
Потрібно порівняти позитивне число із негативним. Будь-яке позитивне число більше від будь-якого негативного числа. Тому не гаючи часу відповідаємо, що 2,34 більше, ніж
приклад 4.Порівняти раціональні числа та
Знаходимо модулі чисел:
Порівнюємо знайдені модулі. Але спочатку приведемо їх до зрозумілого вигляду, щоб простіше було порівняти, а саме переведемо в неправильні дроби та приведемо до спільного знаменника
Згідно з правилом, із двох негативних чисел більше те число, модуль якого менший. Значить раціональне більше, ніж , тому що модуль числа менший, ніж модуль числа
Приклад 5.
Потрібно порівняти нуль із негативним числом. Нуль більше будь-якого негативного числа, тому не втрачаючи часу відповідаємо, що 0 більше, ніж
Приклад 6.Порівняти раціональні числа 0 та
Потрібно порівняти нуль із позитивним числом. Нуль менше будь-якого позитивного числа, тому не втрачаючи часу відповідаємо, що 0 менше, ніж
Приклад 7. Порівняти раціональні числа 4,53 та 4,403
Потрібно порівняти два позитивні числа. З двох позитивних чисел більше число, модуль якого більше.
Зробимо в обох дробах кількість цифр після коми однаковою. Для цього в дробі 4,53 припишемо наприкінці один нуль
Знаходимо модулі чисел
Порівнюємо знайдені модулі:
Згідно з правилом, із двох позитивних чисел більше те число, модуль якого більший. Значить раціональне число 4,53 більше, ніж 4,403, тому що модуль числа 4,53 більше, ніж модуль числа 4,403
Приклад 8.Порівняти раціональні числа та
Потрібно порівняти два негативні числа. З двох негативних чисел більше те число, модуль якого менший.
Знаходимо модулі чисел:
Порівнюємо знайдені модулі. Але спочатку приведемо їх до зрозумілого вигляду, щоб простіше було порівняти, а саме переведемо змішане число в неправильний дріб, потім приведемо обидва дроби до спільного знаменника:
Згідно з правилом, із двох негативних чисел більше те число, модуль якого менший. Значить раціональне більше, ніж , тому що модуль числа менший, ніж модуль числа
Порівнювати десяткові дроби набагато простіше, ніж звичайні дроби та змішані числа. У деяких випадках, подивившись на цілу частину такого дробу, можна відразу відповісти на запитання який дріб більше, а який менше.
Щоб зробити це потрібно порівняти модулі цілих частин. Це дозволить швидко відповісти на запитання у завданні. Адже як відомо, цілі частини в десяткових дробах мають вагу більшу, ніж дробові.
Приклад 9.Порівняти раціональні числа 15,4 та 2,1256
Модуль цілої частини дробу 15,4 більший, ніж модуль цілої частини дробу 2,1256
тому і дріб 15,4 більший, ніж дріб 2,1256
15,4 > 2,1256
Іншими словами, нам не довелося витрачати час на дописування нулів дробу 15,4 і порівнювати дроби, що вийшло, як звичайні числа
154000 > 21256
Правила порівняння залишаються тими самими. У разі ми порівнювали позитивні числа.
приклад 10.Порівняти раціональні числа -15,2 і -0,152
Потрібно порівняти два негативні числа. З двох негативних чисел більше те число, модуль якого менший. Але ми порівняємо лише модулі цілих частин
Бачимо, що модуль цілої частини дробу –15,2 більший, ніж модуль цілої частини дробу –0,152.
А значить раціональне -0,152 більше, ніж -15,2 тому що модуль цілої частини числа -0,152 менше, ніж модуль цілої частини числа -15,2
−0,152 > −15,2
Приклад 11.Порівняти раціональні числа −3,4 та −3,7
Потрібно порівняти два негативні числа. З двох негативних чисел більше те число, модуль якого менший. Але ми порівняємо лише модулі цілих частин. Але проблема в тому, що модулі цілих чисел рівні:
У цьому випадку доведеться користуватися старим методом: знайти модулі раціональних чисел та порівняти ці модулі
Порівнюємо знайдені модулі:
Згідно з правилом, із двох негативних чисел більше те число, модуль якого менший. Значить раціональне −3,4 більше, ніж −3,7 тому що модуль числа −3,4 менший, ніж модуль числа −3,7
−3,4 > −3,7
приклад 12.Порівняти раціональні числа 0,(3) і
Потрібно порівняти два позитивні числа. Причому порівняти періодичний дріб із простим дробом.
Переведемо періодичний дріб 0,(3) у звичайний дріб і порівняємо його з дробом. Після переведення періодичного дробу 0,(3) у звичайний, він перетворюється на дріб
Знаходимо модулі чисел:
Порівнюємо знайдені модулі. Але спочатку приведемо їх до зрозумілого вигляду, щоб простіше було порівняти, а саме приведемо до спільного знаменника: 
Згідно з правилом, із двох позитивних чисел більше те число, модуль якого більший. Значить раціональне число більше, ніж 0,(3) тому, що модуль числа більше, ніж модуль числа 0,(3)
Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки