Sokan gyakran csodálkoznak azon, hogy miért nem használható a nullával való osztás? Ebben a cikkben részletesen fogunk beszélni arról, hogy honnan származik ez a szabály, valamint arról, hogy milyen műveleteket lehet végrehajtani nullával.
Kapcsolatban áll
A nullát az egyik legérdekesebb számnak nevezhetjük. Ennek a számnak nincs értelme, ürességet jelent a szó legigazibb értelmében. Ha azonban bármely szám mellé nullát teszünk, akkor ennek a számnak az értéke többszöröse lesz.
Maga a szám nagyon titokzatos. Az ókori maja emberek használták. A maják számára a nulla a „kezdetet” jelentette, és a naptári napok is nulláról kezdődtek.
Nagyon érdekes tény, hogy a nulla jel és a bizonytalanság jele hasonló volt. Ezzel a maják azt akarták megmutatni, hogy a nulla azonos jel, mint a bizonytalanság. Európában a nulla megjelölés viszonylag nemrég jelent meg.
Sokan ismerik a nullához kapcsolódó tilalmat is. Bárki ezt fogja mondani Nem lehet nullával osztani. Az iskolában ezt mondják a tanárok, és a gyerekek általában szót fogadnak. Általában a gyerekeket vagy egyszerűen nem érdekli, hogy ezt tudják, vagy tudják, mi történik, ha egy fontos tilalom hallatán azonnal megkérdezik: „Miért nem lehet nullával osztani?” De amikor idősebb leszel, felébred az érdeklődése, és többet szeretne tudni ennek a tilalomnak az okairól. Vannak azonban ésszerű bizonyítékok.
Műveletek nullával
Először meg kell határoznia, hogy milyen műveleteket lehet végrehajtani nullával. Létezik többféle akció:
- Kiegészítés;
- Szorzás;
- Kivonás;
- Osztás (nulla szám szerint);
- Hatványozás.
Fontos! Ha az összeadás során bármely számhoz nullát ad, akkor ez a szám ugyanaz marad, és nem változtatja meg a számértékét. Ugyanez történik, ha bármely számból kivonunk nullát.
Ha szorozunk és osztunk, a dolgok egy kicsit eltérnek. Ha tetszőleges számot megszorozzuk nullával, akkor a szorzat is nullává válik.
Nézzünk egy példát:
Kiegészítésként írjuk ezt:
Összesen öt nulla van, tehát kiderül
Próbáljunk meg szorozni egyet nullával. Az eredmény is nulla lesz.
A nullát bármely más számmal is el lehet osztani, amely nem egyenlő vele. Ebben az esetben az eredmény , melynek értéke szintén nulla lesz. Ugyanez a szabály vonatkozik a negatív számokra is. Ha a nullát elosztjuk egy negatív számmal, az eredmény nulla.
Tetszőleges számot is létrehozhat a nulla fokig. Ebben az esetben az eredmény 1 lesz. Fontos megjegyezni, hogy a „nulla a nulla hatványa” kifejezés teljesen értelmetlen. Ha megpróbálja nullát emelni bármely hatványra, akkor nullát kap. Példa:
Használjuk a szorzási szabályt, és 0-t kapunk.
Szóval lehet osztani nullával?
Tehát elérkeztünk a fő kérdéshez. Lehetséges nullával osztani? egyáltalán? És miért nem oszthatunk egy számot nullával, tekintve, hogy minden más nullával rendelkező művelet létezik és alkalmazzák? A kérdés megválaszolásához a felsőbb matematikához kell fordulni.
Kezdjük a fogalom meghatározásával, mi az a nulla? Az iskolai tanárok azt mondják, hogy a nulla semmi. Üresség. Ez azt jelenti, hogy ha azt mondod, hogy 0 fogantyúd van, az azt jelenti, hogy egyáltalán nincsenek fogantyúid.
A felsőbb matematikában a „nulla” fogalma tágabb. Egyáltalán nem jelent ürességet. Itt a nullát bizonytalanságnak nevezzük, mert ha egy kicsit kutakodunk, kiderül, hogy ha nullát elosztunk nullával, bármilyen más számot kaphatunk, ami nem feltétlenül nulla.
Tudtad, hogy azok az egyszerű számtani műveletek, amelyeket az iskolában tanultál, nem annyira egyenlőek egymással? A legalapvetőbb műveletek a következők összeadás és szorzás.
A matematikusok számára a „” és a „kivonás” fogalma nem létezik. Mondjuk: ha ötből kivonsz hármat, akkor kettő marad. Így néz ki a kivonás. A matematikusok azonban így írnák:
Így kiderül, hogy az ismeretlen különbség egy bizonyos szám, amelyet hozzá kell adni 3-hoz, hogy 5-öt kapjunk. Vagyis nem kell semmit kivonni, csak meg kell találni a megfelelő számot. Ez a szabály az összeadásra vonatkozik.
Kicsit más a helyzet vele szorzás és osztás szabályai. Ismeretes, hogy a nullával való szorzás nulla eredményhez vezet. Például, ha 3:0=x, akkor ha megfordítja a bejegyzést, akkor 3*x=0 lesz. A 0-val megszorzott szám pedig nullát ad a szorzatban. Kiderült, hogy nincs olyan szám, amely a nullától eltérő értéket adna a nullával rendelkező szorzatban. Ez azt jelenti, hogy a nullával való osztás értelmetlen, vagyis megfelel a szabályunknak.
De mi történik, ha megpróbálja önmagával elosztani a nullát? Vegyünk egy határozatlan számot x-ként. A kapott egyenlet 0*x=0. Meg lehet oldani.
Ha x helyett nullát próbálunk venni, akkor 0:0=0 lesz. Logikusnak tűnik? De ha megpróbálunk bármilyen más számot felvenni, például 1-et x helyett, akkor 0:0=1 lesz a végeredmény. Ugyanez a helyzet fog bekövetkezni, ha bármilyen más számot veszünk és dugja be az egyenletbe.
Ebben az esetben kiderül, hogy bármilyen más számot is vehetünk tényezőnek. Az eredmény végtelen számú különböző szám lesz. Néha a 0-val való osztásnak a felsőbb matematikában még van értelme, de ilyenkor általában megjelenik egy bizonyos feltétel, aminek köszönhetően mégis kiválaszthatunk egy megfelelő számot. Ezt a műveletet "bizonytalansági feltárásnak" nevezik. A közönséges aritmetikában a nullával való osztás ismét elveszti értelmét, mivel nem tudunk egy számot kiválasztani a halmazból.
Fontos! A nullát nem lehet nullával osztani.
Nulla és végtelen
A végtelen nagyon gyakran megtalálható a felsőbb matematikában. Mivel egyszerűen nem fontos, hogy az iskolások tudják, hogy léteznek matematikai műveletek végtelennel is, a tanárok nem tudják megfelelően elmagyarázni a gyerekeknek, miért lehetetlen nullával osztani.
A hallgatók csak az intézet első évében kezdik el megtanulni az alapvető matematikai titkokat. A felsőbb matematika problémák nagy komplexumát kínálja, amelyekre nincs megoldás. A leghíresebb problémák a végtelennel kapcsolatos problémák. Segítségével megoldhatók matematikai elemzés.
A végtelenre is alkalmazható elemi matematikai műveletek:összeadás, szorzás számmal. Általában kivonást és osztást is használnak, de végül mégiscsak két egyszerű műveletre jutnak.
De mi lesz ha megpróbálod:
- A végtelen szorozva nullával. Elméletileg, ha bármilyen számot megpróbálunk megszorozni nullával, akkor nullát kapunk. De a végtelen a számok határozatlan halmaza. Mivel ebből a halmazból nem választhatunk egy számot, a ∞*0 kifejezésnek nincs megoldása, és teljesen értelmetlen.
- Nulla osztva a végtelennel. Ugyanaz a történet történik itt, mint fent. Nem választhatunk egy számot, ami azt jelenti, hogy nem tudjuk, mivel osszuk el. A kifejezésnek nincs jelentése.
Fontos! A végtelen egy kicsit más, mint a bizonytalanság! A végtelenség a bizonytalanság egyik fajtája.
Most próbáljuk meg elosztani a végtelent nullával. Úgy tűnik, hogy bizonytalanságnak kell lennie. De ha megpróbáljuk az osztást szorzással helyettesíteni, nagyon határozott választ kapunk.
Például: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.
Így derül ki matematikai paradoxon.
A válasz arra, hogy miért nem lehet nullával osztani
Gondolatkísérlet, nullával való osztás
Következtetés
Tehát most már tudjuk, hogy a nulla szinte minden műveletnek alá van vetve, amelyet vele hajtanak végre, kivéve egyet. Nem lehet nullával osztani csak azért, mert az eredmény bizonytalan. Megtanultuk a nullával és a végtelennel végzett műveleteket is. Az ilyen intézkedések eredménye bizonytalanság lesz.
A matematikában a nullával való osztás lehetetlen! A szabály magyarázatának egyik módja a folyamat elemzése, amely megmutatja, mi történik, ha egy számot elosztunk egy másikkal.
Osztás nullával az Excelben
A valóságban az osztás lényegében ugyanaz, mint a kivonás. Például, ha a 10-et elosztjuk 2-vel, akkor a 2-t ismételten kivonjuk 10-ből. Az ismétlést addig ismételjük, amíg az eredmény 0 nem lesz. Így pontosan ötször kell kivonni a 2-t a tízből:
- 10-2=8
- 8-2=6
- 6-2=4
- 4-2=2
- 2-2=0
Ha megpróbáljuk elosztani a 10-et 0-val, akkor soha nem fogunk 0-val egyenlő eredményt kapni, hiszen 10-0 kivonásánál mindig 10 lesz. Ha végtelen számú alkalommal nullát vonunk ki tízből, nem jutunk el az eredményhez = 0. A =10 kivonási művelet után mindig ugyanaz az eredmény lesz:
- 10-0=10
- 10-0=10
- 10-0=10
- ∞ végtelen.
A matematikusok oldaláról azt mondják, hogy bármely szám nullával való osztásának eredménye „korlátlan”. Bármely számítógépes program, amely megpróbál 0-val osztani, egyszerűen hibát ad vissza. Az Excelben ezt a hibát a #DIV/0! cellában lévő érték jelzi.
De ha szükséges, az Excelben megkerülheti a 0 hibával való felosztást. Egyszerűen ki kell hagyni az osztási műveletet, ha a nevező 0-t tartalmaz. A megoldás úgy valósul meg, hogy az operandusokat az =IF() függvény argumentumaiba helyezzük:
Így az Excel képlet lehetővé teszi, hogy egy számot hiba nélkül „osztjunk” 0-val. Bármely szám 0-val való osztásakor a képlet 0 értéket ad vissza. Vagyis osztás után a következő eredményt kapjuk: 10/0=0.
Hogyan működik a nulla hibával való osztás megszüntetésének képlete?
A helyes működéshez az IF függvénynek 3 argumentumát kell kitöltenie:
- Logikai állapot.
- Műveletek vagy értékek, amelyeket akkor hajtanak végre, ha a logikai feltétel IGAZ értéket ad vissza.
- Műveletek vagy értékek, amelyek akkor hajtódnak végre, amikor egy logikai feltétel HAMIS értéket ad vissza.
Ebben az esetben a feltételes argumentum értékellenőrzést tartalmaz. Az Értékesítés oszlop cellaértékei 0-val egyenlőek? Az IF függvény első argumentumának mindig tartalmaznia kell összehasonlító operátorokat két érték között, hogy a feltétel eredménye IGAZ vagy HAMIS legyen. A legtöbb esetben az egyenlőségjelet használják összehasonlító operátorként, de más is használható, például nagyobb, mint > vagy kisebb, mint >. Vagy ezek kombinációi – nagyobb vagy egyenlő >=, nem egyenlő!=.
Ha az első argumentum feltétele IGAZ értéket ad vissza, akkor a képlet kitölti a cellát az IF függvény második argumentumának értékével. Ebben a példában a második argumentum értékeként a 0 számot tartalmazza. Ez azt jelenti, hogy a „Végrehajtás” oszlop cellája egyszerűen 0-val lesz kitöltve, ha az „Eladások” oszloppal szemközti cellában 0 értékesítés található.
Ha az első argumentum feltétele FALSE-t ad vissza, akkor az IF függvény harmadik argumentumának értéke kerül felhasználásra. Ebben az esetben ez az érték az „Eladások” oszlopból származó mutató és a „Terv” oszlop mutatójának elosztása után jön létre.
Képlet nullával vagy nullával egy számmal való osztáshoz
Bonyolítsuk a képletünket az =VAGY() függvénnyel. Adjunk hozzá még egy értékesítési ügynököt nulla értékesítéssel. Most a képletet a következőre kell módosítani:
Másolja ezt a képletet a Folyamat oszlop összes cellájába:
Mostantól függetlenül attól, hogy hol van a nulla a nevezőben vagy a számlálóban, a képlet a felhasználó igényei szerint fog működni.
A 0 szám elképzelhető egy bizonyos határként, amely elválasztja a valós számok világát a képzeletbeli vagy negatív számoktól. A kétértelmű helyzet miatt sok ilyen numerikus értékű művelet nem engedelmeskedik a matematikai logikának. Ennek kiváló példája a nullával való osztás lehetetlensége. És a megengedett aritmetikai műveletek nullával végrehajthatók általánosan elfogadott definíciók segítségével.
A nulla története
A nulla a referenciapont minden szabványos számrendszerben. Az európaiak viszonylag nemrég kezdték használni ezt a számot, de az ókori India bölcsei ezer évvel azelőtt nullát használtak, hogy az európai matematikusok rendszeresen használták volna az üres számot. Már az indiánok előtt is a nulla kötelező érték volt a maja számrendszerben. Ezek az amerikaiak a duodecimális számrendszert használták, és minden hónap első napja nullával kezdődött. Érdekes, hogy a majáknál a „nulla” jel teljesen egybeesett a „végtelen” jellel. Így az ókori maják arra a következtetésre jutottak, hogy ezek a mennyiségek azonosak és kiismerhetetlenek.
Matematikai műveletek nullával
A nullával végzett szabványos matematikai műveletek néhány szabályra redukálhatók.
Összeadás: ha egy tetszőleges számhoz nullát adunk, az nem változtatja meg az értékét (0+x=x).
Kivonás: Ha bármely számból kivonja a nullát, a kivonási rész értéke változatlan marad (x-0=x).
Szorzás: Bármely szám 0-val szorozva 0-t ad (a*0=0).
Osztás: A nullát bármely számmal el lehet osztani, amely nem egyenlő nullával. Ebben az esetben egy ilyen tört értéke 0. A nullával való osztás pedig tilos.
Hatványozás. Ez a művelet tetszőleges számmal végrehajtható. Egy tetszőleges szám nulla hatványra emelve 1-et ad (x 0 =1).
Bármely hatvány nullája egyenlő 0-val (0 a = 0).
Ebben az esetben azonnal ellentmondás keletkezik: a 0 0 kifejezésnek nincs értelme.
A matematika paradoxonai
Sokan tudják az iskolából, hogy a nullával való osztás lehetetlen. De valamiért lehetetlen megmagyarázni egy ilyen tilalom okát. Valójában miért nem létezik a nullával való osztás képlete, de más műveletek ezzel a számmal ésszerűek és lehetségesek? Erre a kérdésre a választ matematikusok adják.
A helyzet az, hogy a szokásos számtani műveletek, amelyeket az iskolások az általános iskolában tanulnak, valójában közel sem olyan egyenlőek, mint gondolnánk. Minden egyszerű számművelet kettőre redukálható: összeadásra és szorzásra. Ezek a műveletek alkotják magának a számfogalomnak a lényegét, más műveletek pedig e kettő használatára épülnek.
Összeadás és szorzás
Vegyünk egy szabványos kivonási példát: 10-2=8. Az iskolában egyszerűen úgy gondolják: ha tíz tantárgyból kivonsz kettőt, nyolc marad. De a matematikusok teljesen másképp nézik ezt a műveletet. Végül is ilyen művelet, mint a kivonás, nem létezik számukra. Ez a példa másképpen is felírható: x+2=10. A matematikusok számára az ismeretlen különbség egyszerűen az a szám, amelyet kettőhöz hozzá kell adni ahhoz, hogy nyolc legyen. És itt nincs szükség kivonásra, csak meg kell találni a megfelelő számértéket.
A szorzást és az osztást ugyanúgy kezelik. A 12:4=3 példában érthető, hogy nyolc objektum két egyenlő halomra való felosztásáról beszélünk. De a valóságban ez csak egy fordított képlet a 3x4 = 12 írására. Ilyen felosztási példákat végtelenül lehet hozni.
Példák 0-val való osztásra
Itt válik kissé világossá, hogy miért nem lehet nullával osztani. A szorzás és a nullával való osztás a saját szabályait követi. Ennek a mennyiségnek a felosztására vonatkozó összes példa megfogalmazható úgy, hogy 6:0 = x. De ez a 6 * x = 0 kifejezés fordított jelölése. De, mint tudod, bármely szám 0-val megszorozva csak 0-t ad a szorzatban. Ez a tulajdonság a nulla érték fogalmában rejlik.
Kiderült, hogy nincs olyan szám, amely 0-val szorozva bármilyen kézzelfogható értéket ad, vagyis ennek a problémának nincs megoldása. Nem kell félnie ettől a választól, ez természetes válasz az ilyen típusú problémákra. Csak hát a 6:0-s rekordnak semmi értelme és nem tud semmit megmagyarázni. Röviden, ez a kifejezés azzal magyarázható, hogy halhatatlan „nullával osztani lehetetlen”.
Van 0:0 művelet? Valóban, ha a 0-val való szorzás törvényes, osztható-e nulla nullával? Végül is egy 0x 5=0 alakú egyenlet teljesen törvényes. Az 5-ös szám helyett 0-t írhat, a termék nem változik.
Valóban, 0x0=0. De még mindig nem lehet 0-val osztani. Mint említettük, az osztás egyszerűen a szorzás inverze. Így, ha a példában 0x5=0, meg kell határozni a második tényezőt, akkor 0x0=5-öt kapunk. Vagy 10. Vagy a végtelen. A végtelen elosztása nullával – hogy tetszik?
De ha bármilyen szám belefér a kifejezésbe, akkor annak nincs értelme, nem választhatunk csak egyet a végtelen számú szám közül. És ha igen, ez azt jelenti, hogy a 0:0 kifejezésnek nincs értelme. Kiderült, hogy magát a nullát sem lehet nullával osztani.
Felső matematika
A nullával való osztás fejfájást okoz a középiskolai matematikának. A műszaki egyetemeken tanult matematikai elemzés kissé kibővíti a megoldás nélküli problémák fogalmát. Például a már ismert 0:0 kifejezéshez újak kerülnek hozzáadásra, amelyeknek nincs megoldása az iskolai matematika kurzusokban:
- végtelen osztva a végtelennel: ∞:∞;
- végtelen mínusz végtelen: ∞−∞;
- végtelen hatványra emelt egység: 1 ∞ ;
- végtelen 0-val szorozva: ∞*0;
- néhány másik.
Az ilyen kifejezéseket elemi módszerekkel nem lehet megoldani. De a magasabb matematika, hála számos hasonló példa további lehetőségeinek, végső megoldásokat kínál. Ez különösen nyilvánvaló a problémák határelméletből való mérlegelésében.
A bizonytalanság feloldása
A határértékek elméletében a 0 értéket egy feltételes, infinitezimális változóval helyettesítjük. És azokat a kifejezéseket, amelyekben a kívánt érték helyettesítésekor nullával való osztást kapunk, átváltjuk. Az alábbiakban egy szabványos példa látható egy határérték kiterjesztésére szokásos algebrai transzformációkkal:
Amint a példában látható, egy tört egyszerű csökkentése teljesen racionális válaszhoz vezet.
Ha figyelembe vesszük a trigonometrikus függvények határait, azok kifejezései általában az első figyelemre méltó határig redukálódnak. Ha olyan határértékeket veszünk figyelembe, amelyekben a nevező 0 lesz, amikor a határértéket helyettesítjük, egy második figyelemre méltó határértéket használunk.
L'Hopital módszer
Egyes esetekben a kifejezések határértékei helyettesíthetők származékaik korlátaival. Guillaume L'Hopital - francia matematikus, a francia matematikai elemzési iskola alapítója. Bebizonyította, hogy a kifejezések határai egyenlőek e kifejezések származékainak határaival. A matematikai jelölésben a szabálya így néz ki.
Evgeniy Shiryaev, tanár és a Politechnikai Múzeum Matematikai Laboratóriumának vezetője, elmondta az AiF.ru-nak a nullával való osztásról:
1. A kérdés illetékessége
Egyetértek, ami a szabályt különösen provokatívvá teszi, az a tilalom. Hogy nem lehet ezt megtenni? Ki tiltott? Mi a helyzet az állampolgári jogainkkal?
Sem az Orosz Föderáció alkotmánya, sem a Büntető Törvénykönyv, de még az Ön iskolájának alapszabálya sem tiltja a minket érdeklő szellemi tevékenységet. Ez azt jelenti, hogy a tilalomnak nincs jogi ereje, és semmi sem akadályozza meg, hogy itt, az AiF.ru oldalain megpróbáljon valamit nullával elosztani. Például ezer.
2. Osszuk a tanítás szerint
Ne feledje, amikor először megtanulta az osztást, az első példákat a szorzás ellenőrzésével oldották meg: az osztóval szorzott eredménynek meg kellett egyeznie az oszthatóval. Ha nem egyezik, nem döntöttek.
1. példa 1000: 0 =...
Felejtsük el egy pillanatra a tiltott szabályt, és próbáljuk meg többször kitalálni a választ.
A hibásakat a csekk levágja. Próbálja ki a következő opciókat: 100, 1, -23, 17, 0, 10 000, mindegyiknél ugyanazt az eredményt adja az ellenőrzés:
100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10 000 0 = 0
A nullát megszorozva minden önmagába fordul, és soha nem ezerbe. A következtetést könnyű megfogalmazni: egyetlen szám sem megy át a teszten. Azaz egyetlen szám sem lehet annak eredménye, hogy egy nem nulla számot osztunk nullával. Az ilyen felosztás nem tilos, de egyszerűen nincs eredménye.
3. Árnyékolás
Majdnem elszalasztottunk egy lehetőséget, hogy megcáfoljuk a tiltást. Igen, elismerjük, hogy egy nem nulla szám nem osztható 0-val. De lehet, hogy maga a 0 is megteheti?
2. példa 0: 0 = ...
Mik a javaslataid a privátban? 100? Kérem: a 100-nak a 0 osztóval való hányadosa egyenlő a 0 osztalékkal.
Több lehetőség! 1? Illik is. És −23, és 17, és ennyi. Ebben a példában a teszt bármely számra pozitív lesz. És hogy őszinte legyek, ebben a példában a megoldást nem számnak, hanem számkészletnek kell nevezni. Mindenki. És nem tart sokáig, hogy egyetértsünk abban, hogy Alice nem Alice, hanem Mary Ann, és mindketten egy nyúl álma.
4. Mi a helyzet a felsőbb matematikával?
A probléma megoldódott, az árnyalatokat figyelembe vették, a pontokat elhelyezték, minden világossá vált - a nullával való osztás példájára a válasz nem lehet egyetlen szám. Az ilyen problémák megoldása reménytelen és lehetetlen. Ami azt jelenti... érdekes! Vegyél kettőt.
3. példa Képzeld el, hogyan kell elosztani 1000-et 0-val.
De sehogy. De az 1000 könnyen osztható más számokkal. Nos, legalább tegyük meg, amit tudunk, még akkor is, ha változtatunk a feladaton. És akkor látod, elragadunk, és a válasz magától megjelenik. Egy percre felejtsük el a nullát, és osszuk el százzal:
A száz messze van a nullától. Tegyünk egy lépést felé az osztó csökkentésével:
1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.
A dinamika nyilvánvaló: minél közelebb van az osztó a nullához, annál nagyobb a hányados. A tendencia tovább figyelhető, ha törtekre váltunk, és folytatjuk a számláló csökkentését:
Továbbra is meg kell jegyeznünk, hogy olyan közel kerülhetünk a nullához, amennyit csak akarunk, így a hányados olyan nagy lesz, amennyit csak akarunk.
Ebben a folyamatban nincs nulla és nincs utolsó hányados. A feléjük irányuló mozgást úgy jeleztük, hogy a számot a minket érdeklő számhoz konvergáló sorozattal helyettesítettük:
Ez az osztalék hasonló helyettesítését jelenti:
1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }
Nem véletlen, hogy a nyilak kétoldalasak: egyes sorozatok számokká konvergálhatnak. Ekkor a sorozatot a numerikus határértékéhez rendelhetjük.
Nézzük a hányadosok sorrendjét:
Korlátlanul növekszik, nem törekszik semmilyen számra és felülmúlja bármelyiket. A matematikusok szimbólumokat adnak a számokhoz ∞ hogy egy kétoldalas nyilat tudjunk tenni egy ilyen sorozat mellé:
A határértékkel rendelkező sorozatok számával való összehasonlítás lehetővé teszi számunkra, hogy megoldást javasoljunk a harmadik példára:
Ha egy 1000-hez konvergáló sorozatot elemenként elosztunk egy 0-hoz konvergáló pozitív számsorozattal, akkor ∞-hez konvergáló sorozatot kapunk.
5. És itt van az árnyalat két nullával
Mi az eredménye, ha két pozitív számsorozatot elosztunk, amelyek nullához konvergálnak? Ha azonosak, akkor az egység azonos. Ha az osztaléksorozat gyorsabban konvergál a nullához, akkor a hányadosban a sorozatnak nulla határa van. És amikor az osztó elemei sokkal gyorsabban csökkennek, mint az osztaléké, a hányados sorozata nagymértékben megnő:
Bizonytalan helyzet. És így hívják: típusbizonytalanság 0/0 . Amikor a matematikusok olyan sorozatokat látnak, amelyek ilyen bizonytalanságra illeszkednek, nem rohannak két azonos számot elosztani egymással, hanem kitalálják, hogy a sorozatok közül melyik fut gyorsabban nullára, és hogyan pontosan. És minden példának megvan a saját konkrét válasza!
6. Az életben
Ohm törvénye az áramkörben lévő áramot, feszültséget és ellenállást kapcsolja össze. Gyakran így írják:
Engedjük meg magunknak, hogy figyelmen kívül hagyjuk a tiszta fizikai megértést, és formálisan tekintsük a jobb oldalt két szám hányadosának. Képzeljük el, hogy egy iskolai problémát oldunk meg az árammal. A feltétel a feszültséget voltban, az ellenállást pedig ohmban adja meg. A kérdés nyilvánvaló, a megoldás egy lépésben van.
Most nézzük meg a szupravezetés definícióját: ez egyes fémek azon tulajdonsága, hogy elektromos ellenállása nulla.
Nos, oldjuk meg a szupravezető áramkör problémáját? Csak állítsd be így R= 0 Ha nem sikerül, a fizika egy érdekes problémát vet fel, ami mögött nyilvánvalóan tudományos felfedezés húzódik meg. És azok, akik ebben a helyzetben sikerült nullával osztani, megkapták a Nobel-díjat. Hasznos, ha képes megkerülni minden tilalmat!
Íme egy másik érdekes kijelentés. – Nem lehet nullával osztani! - A legtöbb iskolás fejből tanulja meg ezt a szabályt, kérdések feltevése nélkül. Minden gyerek tudja, mi az, hogy „nem lehet”, és mi történik, ha válaszul megkérdezi: „Miért?” Ez fog történni, ha
De valójában nagyon érdekes és fontos tudni, hogy miért nem lehetséges.
A helyzet az, hogy az aritmetika négy művelete - összeadás, kivonás, szorzás és osztás - valójában nem egyenlő. A matematikusok közülük csak kettőt ismernek el érvényesnek: az összeadást és a szorzást. Ezek a műveletek és tulajdonságaik benne vannak a számfogalom meghatározásában. Az összes többi cselekvés így vagy úgy ebből a kettőből épül fel.
Vegyük például a kivonást. Mit jelent az 5-3? A tanuló erre egyszerűen válaszol: el kell venni öt tárgyat, el kell venni (eltávolítani) közülük hármat, és meg kell nézni, hány marad. De a matematikusok teljesen másképp nézik ezt a problémát. Nincs kivonás, csak összeadás van. Ezért az 5–3 jelölés egy olyan számot jelent, amelyet a 3-as számhoz hozzáadva 5-öt kapunk. Vagyis az 5–3 egyszerűen az egyenlet rövidített jelölése: x + 3 = 5. Nincs kivonás. ebben az egyenletben. Csak egy feladat van - megfelelő szám megtalálása.
Ugyanez igaz a szorzásra és az osztásra is. A 8:4-es bejegyzés nyolc tétel négy egyenlő halomra való felosztásának eredményeként érthető. De ez valójában csak a 4 x = 8 egyenlet rövidített formája.
Itt derül ki, hogy miért lehetetlen (vagy inkább lehetetlen) nullával osztani. Az 5-ös rögzítés: 0 a 0 x = 5 rövidítése. Ez a feladat egy olyan szám megtalálása, amelyet 0-val megszorozva 5-öt kapunk. De tudjuk, hogy ha 0-val szorozzuk, az eredmény mindig 0. szigorúan véve a nulla inherens tulajdonsága a definíció része.
Nincs olyan szám, amelyet 0-val megszorozva mást ad, mint nullát. Vagyis a problémánknak nincs megoldása. (Igen, ez megtörténik, nem minden problémára van megoldás.) Ez azt jelenti, hogy az 5:0 szócikk nem felel meg egyetlen számnak sem, és egyszerűen nem jelent semmit, ezért nincs értelme. Ennek a bejegyzésnek az értelmetlenségét röviden kifejezzük azzal, hogy nem lehet nullával osztani.
A legfigyelmesebb olvasók ezen a helyen minden bizonnyal megkérdezik: el lehet osztani a nullát nullával? Valóban, a 0 x = 0 egyenlet biztonságosan megoldható. Például vehetünk x = 0-t, és akkor kapjuk a 0 · 0 = 0-t. Tehát 0: 0=0? De ne rohanjunk. Próbáljuk meg felvenni, hogy x = 1. 0 · 1 = 0. Helyes? Tehát 0:0 = 1? De így tetszőleges számot vehet, és 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 stb.
De ha bármelyik szám megfelelő, akkor nincs okunk arra, hogy bármelyiket válasszuk. Vagyis nem tudjuk megmondani, hogy a 0:0 bejegyzés melyik számnak felel meg, és ha igen, akkor kénytelenek vagyunk elismerni, hogy ennek a bejegyzésnek sincs értelme. Kiderült, hogy még a nullát sem lehet nullával osztani. (A matematikai elemzésben vannak olyan esetek, amikor a probléma további feltételei miatt előnyben részesíthető a 0 x = 0 egyenlet egyik lehetséges megoldása; ilyenkor a matematikusok „bizonytalanság feltárásáról” beszélnek, de pl. az aritmetikában nem fordulnak elő esetek.)
Ez az osztás működésének sajátossága. Pontosabban a szorzás műveletének és a hozzá tartozó számnak nulla.
Nos, a legaprólékosabbak, idáig olvasva, feltehetik a kérdést: miért történik az, hogy nullával osztani nem lehet, de nullát ki lehet vonni? Bizonyos értelemben itt kezdődik az igazi matematika. Erre csak úgy válaszolhat, ha megismeri a numerikus halmazok formális matematikai definícióit és a rajtuk végzett műveleteket.